2012-辽宁卷理-15 填-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的定义与几何性质，以及导数的几何意义。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(理)） 已知 $P,Q$ 为抛物线 $x^2=2y$ 上两点，点 $P,Q$ 的横坐标分别为 $4,-2$，过 $P,Q$ 分别作抛物线的切线，两切线交于 $A$，则点 $A$ 的纵坐标为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出切点坐标：将点 $P,Q$ 的横坐标分别代入抛物线方程 $y=\frac{1}{2}{x}^2$，计算出对应的纵坐标，锁定完整的点 $P$ 和点 $Q$。
2. 利用导数求切线斜率：对抛物线解析式 $y=\frac{1}{2}{x}^2$ 求导，得 $y^{\prime }=x$。根据导数的几何意义，切点处的横坐标数值即为该点处切线的斜率。
3. 建立两条切线方程：已知切点坐标与切线斜率，分别利用直线的点斜式公式写出过点 $P$ 的切线 $l_1$ 和过点 $Q$ 的切线 $l_2$ 的解析式。
4. 联立方程组求交点：将 $l_1$ 与 $l_2$ 联立，通过消元法解出两直线交点 $A$ 的纵坐标。

✅【答案】

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$-4$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：锁定切点 $P,Q$ 的坐标

因为 点 $P,Q$ 在抛物线 $x^2=2y⟹y=\frac{1}{2}{x}^2$ 上，

• 当 $x_P=4$ 时， $y_P=\frac{1}{2}\times 4^2=8$，得切点 $P(4,8)$。

• 当 $x_Q=-2$ 时， $y_Q=\frac{1}{2}\times (-2{)}^2=2$，得切点 $Q(-2,2)$。

第二步：求出两切线的方程

对函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2$ 进行求导，得到导函数： $y^{\prime }=x$

根据导数的几何意义，抛物线在各点处的切线斜率等于该点的横坐标值：

• 过点 $P(4,8)$的切线斜率为： $k_1=y^{\prime }{|}_{x=4}=4$。 利用点斜式写出切线 $l_1$ 的方程： $y-8=4(x-4)⟹y=4x-8\text{(1)}$

• 过点 $Q(-2,2)$的切线斜率为： $k_2=y^{\prime }{|}_{x=-2}=-2$。 利用点斜式写出切线 $l_2$ 的方程： $y-2=-2[x-(-2)]⟹y=-2x-2\text{(2)}$

第三步：联立求解交点 $A$ 的纵坐标

将方程①与方程②联立组成二元一次方程组： $\{\begin{array}{l}y=4x-8\\ y=-2x-2\end{array}$

为了快速求解纵坐标 $y$，采用消元法。由①得 $4x=y+8⟹2x=\frac{y+8}{2}$。 将其整体代入②中： $y=-2x-2⟹y=-\frac{y+8}{2}-2$

两边同时乘以 2 以消除分母： $2y=-(y+8)-4$ $2y=-y-8-4$ $3y=-12⟹y=-4$

所以，两切线交点 $A$ 的纵坐标为 $-4$。

故答案为：-4

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：解析几何中抛物线切线的导数求解通法、交点两元一次方程组的消元运算。
2. 核心方法：点斜式切线方程联立。
3. 避坑指南：

• 在求导时，切记先将 $x^2=2y$ 显性化改写为关于 $x$ 的函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2$，防止直接对隐函数乱套公式导致斜率算错。
• 联立方程求交点时看清题干问的是“纵坐标”，可以通过整体消去 $x$ 直接解出 $y$，避免多算一步横坐标耽误考场填空题的时间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》中关于抛物线切线交点问题的经典中档常规必做题。

2. 结论推广：本题代数结构完美对应着解析几何中著名的**阿基米德三角形（Archimedes Triangle）**切线定值定理。

阿基米德定理通项模型： 对于标准抛物线 $x^2=2py$，若过抛物线上任意两点 $P(x_1,y_1)$ 与 $Q(x_2,y_2)$ 作抛物线的切线，两切线必交于点 $A(x_A,y_A)$。则交点 $A$ 的坐标恒满足以下极其优美的代数对称关系：

• 横坐标为两切点横坐标的算术平均数： $x_A=\frac{x_1+x_2}{2}$
• 纵坐标为两切点横坐标的几何乘积比： $y_A=\frac{x_1{x}_2}{2p}$

针对本题，已知 $x_1=4,x_2=-2$，抛物线方程为 $x^2=2y⟹2p=2$。 要求交点 $A$ 的纵坐标，直接套用该推广模型： $y_A=\frac{x_1{x}_2}{2p}=\frac{4\times (-2)}{2}=\frac{-8}{2}=-4$ 掌握这一阿基米德切线顶点模型，在高考中面对类似的小题，完全可以实现无需任何求导和联立，直接心算得出。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

• 17.05 直线与圆的位置关系 类题演练 (Links)

• 2008-广东卷文-20 解-椭圆抛物线切线与存在性

• 2013-大纲卷理-11 单-抛物线性质

• 2013-广东卷理-20 解-抛物线方程