2013-上海卷文-12 填-椭圆焦点距离

本题导读

本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单几何性质。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(文)） 设 $AB$ 是椭圆 $\Gamma$ 的长轴，点 $C$ 在 $\Gamma$ 上，且 $\angle CBA=\frac{\pi }{4}$，若 $AB=4$，$BC=\sqrt{2}$，则 $\Gamma$ 的两个焦点之间的距离为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $AB$ 中点为原点、$AB$ 在 $x$ 轴上建系：$A(-2,0)$，$B(2,0)$，$a=2$。
2. 作 $CD\perp AB$ 于 $D$：$\angle CBA=\frac{\pi }{4}$、$BC=\sqrt{2}$ → $CD=BC\sin \frac{\pi }{4}=1$，$BD=BC\cos \frac{\pi }{4}=1$。
3. $D$ 在 $B$ 左侧 $1$ 处 → $D(1,0)$，$C(1,1)$。
4. 代 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$：$\frac{1}{4}+\frac{1}{b^2}=1$ → $b^2=\frac{4}{3}$。
5. $c^2=a^2-b^2=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$ → 两焦点距离 $2c=\frac{4\sqrt{6}}{3}$。

✅【答案】

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$\frac{4\sqrt{6}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

以 $AB$ 的中点为原点、$AB$ 所在直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系，则 $A(-2,0)$，$B(2,0)$，椭圆方程可写为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$b>0$）。 过 $C$ 作 $CD\perp AB$，垂足为 $D$。在直角三角形 $CBD$ 中，$\angle CBA=\frac{\pi }{4}$，$BC=\sqrt{2}$，故 $CD=BC\sin \frac{\pi }{4}=1,BD=BC\cos \frac{\pi }{4}=1.$ 因 $C$ 在 $AB$ 上方且靠 $B$ 一侧，$D$ 的横坐标为 $2-1=1$，故 $C(1,1)$。 代入椭圆方程： $\frac{1}{4}+\frac{1}{b^2}=1\Rightarrow b^2=\frac{4}{3}.$ 于是 $c^2=a^2-b^2=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3},2c=2\sqrt{\frac{8}{3}}=2\times \frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{4\sqrt{6}}{3}.$ 即两个焦点之间的距离为 $\frac{4\sqrt{6}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的标准方程与焦点间距离

核心方法：$2a=4$ → $a=2$；作 $CD\perp AB$，$\angle CBA=\frac{\pi }{4}$、$BC=\sqrt{2}$ → $CD=1$、$BD=1$ → $C(1,1)$；代 $\frac{1}{4}+\frac{1}{b^2}=1$ → $b^2=\frac{4}{3}$；$2c=2\sqrt{a^2-b^2}=2\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$

避坑指南：建系时习惯把 $AB$ 放在 $x$ 轴、中点为原点：$A(-2,0)$、$B(2,0)$，则 $C$ 的横坐标是 $2-1=1$ 而不是 $-1$（$C$ 靠近 $B$ 的一侧）；“两焦点之间的距离”是 $2c$，别只给 $c=\frac{2\sqrt{6}}{3}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“椭圆上的点 + 角度条件定坐标”是圆锥曲线小题的常规构图，与 2013 大纲文 8 的椭圆标准方程题同法。

结论推广：凡给”椭圆上一点 + 与长轴端点的夹角”，作垂线把点坐标求出，再代回椭圆方程定 $b^2$，最后用 $c^2=a^2-b^2$ 求焦距。

方法推广：解直角三角形定位点的坐标时，先定坐标系（长轴在 $x$ 轴、中心为原点是默认最优），再把角度与长度条件翻译成垂线段的长度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-08 单-椭圆标准方程
• 2013-北京卷文-19 解-椭圆与菱形
• 2013-四川卷文-09 单-椭圆离心率