2013-上海卷理-19 解-线面平行

本题导读

本题考查点线面的位置关系。核心在于几何证明法、等体积法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(理)） 如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AB=2,AD=1,A_{1}A=1$.

(1)证明直线 $B{C}_1$ 平行于平面 $D_{1}AC$；

(2)求直线 $B{C}_1$ 到平面 $D_{1}AC$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（线面平行）：
   • 核心思路：证明直线 $B{C}_1$ 平行于平面 $D_{1}AC$ 内的一条直线。
   • 构造：观察图形，$AB$ 与 $C_1{D}_1$ 平行且相等，可以判定四边形 $AB{C}_1{D}_1$ 为平行四边形。由此得到 $B{C}_1\parallel A{D}_1$。
   • 判定：因为 $A{D}_1\subset$ 平面 $D_{1}AC$，且 $B{C}_1\not\subset$ 平面 $D_{1}AC$，满足线面平行的判定定理。
2. 第二问（线面距离）：
   • 转化：由于直线 $B{C}_1\parallel$ 平面 $D_{1}AC$，直线到平面的距离等于直线上任意一点到平面的距离。取点 $B$，求点 $B$ 到平面 $D_{1}AC$ 的距离 $h$。
   • 方法：使用“等体积法”。考虑三棱锥 $B-D_{1}AC$（即 $D_1-ABC$）的体积。
   • 计算：
     • $V_{D_1-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot D_{1}D$。
     • $V_{B-D_{1}AC}=\frac{1}{3}{S}_{△D_{1}AC}\cdot h$。
     • 利用勾股定理求出 $△D_{1}AC$ 的三边长，计算其面积，代入等式解出 $h$。

✅【答案】

点击查看答案

所以 $B{C}_1\parallel A{D}_1$。；即直线 $B{C}_1$ 到平面 $D_{1}AC$ 的距离为 $\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明： 在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AB\parallel C_1{D}_1$ 且 $AB=C_1{D}_1$。 故四边形 $AB{C}_1{D}_1$ 为平行四边形。 所以 $B{C}_1\parallel A{D}_1$。 又因为 $A{D}_1\subset$ 平面 $D_{1}AC$，$B{C}_1\not\subset$ 平面 $D_{1}AC$， 于是直线 $B{C}_1\parallel$ 平面 $D_{1}AC$。

（2）解： 由于直线 $B{C}_1\parallel$ 平面 $D_{1}AC$，直线 $B{C}_1$ 到平面 $D_{1}AC$ 的距离即为点 $B$ 到平面 $D_{1}AC$ 的距离，设为 $h$。 考虑三棱锥 $A-BC{D}_1$ 的体积，等价于三棱锥 $D_1-ABC$。 以 $△ABC$ 为底面，其面积 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times AD=\frac{1}{2}\times 2\times 1=1$。 高 $D_{1}D=A_{1}A=1$。 则体积 $V=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot D_{1}D=\frac{1}{3}\times 1\times 1=\frac{1}{3}$。

在 $△A{D}_{1}C$ 中，各边长分别为： $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$， $D_{1}C=\sqrt{D_1{D}^2+D{C}^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$， $A{D}_1=\sqrt{A{D}^2+D{D}_1^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。 由此可知 $△A{D}_{1}C$ 为等腰三角形。作 $D_1$ 到 $AC$ 的高， 其底边 $AC$ 上的高为 $\sqrt{(\sqrt{5}{)}^2-(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2}=\sqrt{5-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$。 面积 $S_{△A{D}_{1}C}=\frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times \frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3}{2}$。

根据体积公式： $V=\frac{1}{3}{S}_{△A{D}_{1}C}\cdot h=\frac{1}{3}\times \frac{3}{2}\times h=\frac{1}{2}h$。 由 $\frac{1}{2}h=\frac{1}{3}$ 得 $h=\frac{2}{3}$。 即直线 $B{C}_1$ 到平面 $D_{1}AC$ 的距离为 $\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行的判定（线线平行 $\to$ 线面平行）；点面距离的“等体积转换”。

核心方法：“体积桥”。当直接求点到平面的垂线段长度困难时，通过更换底面和顶点，利用已知体积求解。

避坑指南：- 证明线面平行时，必须写明“线在面外”和“另一线在面内”两个前提。 - 求三角形面积时，先判断其形状（如等腰或直角），可简化计算过程。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：面面平行的性质、空间余弦定理。

结论推广：在长方体中，平行相对的面对角线所构成的平面与对角线往往存在平行关系。

方法推广：空间向量法。建立空间直角坐标系，利用法向量 $\vec{n}$ 求点面距离 $d=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ 也是一种通用的代数解法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2015-山东卷文-18 解-线面平行与垂直
• 2014-新课标II卷文-18 解-线面平行与距离
• 2014-四川卷文-18 解-线面垂直与平行