2024-新高考II卷-07 单-线面角

本题导读

本题考查棱台的结构特征与体积，以及线面角。

📌【题干】

Question

（2024年新高考II卷）已知正三棱台 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的体积为 $\frac{52}{3}$, $AB=6$ , $A_1{B}_1=2$, 则 $A_{1}A$ 与平面 $ABC$ 所成角的正切值为（ ）

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　B. $1$　　　　　　C. $2$　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求底面积：利用正三角形面积公式 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ 分别计算上下底面的面积 $S_1$ 和 $S_2$。
2. 求棱台的高：代入棱台体积公式 $V=\frac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})$，建立关于高 $h$ 的方程并求解。
3. 定位线面角：正棱台的侧棱 $A_{1}A$ 与下底面所成的角，等效于 $A_1$ 向下底面作垂线后的直角三角形中的锐角。
4. 构造直角梯形：考虑通过上下底面中心 $O_1,O$ 的截面。利用上下底面外接圆半径之差作为直角三角形的底边，高 $h$ 为对边，求正切值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算上下底面积 下底面 $△ABC$ 边长为 $6$，面积 $S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 6^2=9\sqrt{3}$ 上底面 $△A_1{B}_1{C}_1$ 边长为 $2$，面积 $S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2^2=\sqrt{3}$

第二步：利用体积公式求高 $h$ 棱台体积公式：$V=\frac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})$ 代入数据：$\frac{52}{3}\sqrt{3}=\frac{1}{3}h(9\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{9\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}})$ $\frac{52}{3}\sqrt{3}=\frac{1}{3}h(10\sqrt{3}+3\sqrt{3})=\frac{13\sqrt{3}}{3}h$ 解得：$h=\frac{52\sqrt{3}}{13\sqrt{3}}=4$

第三步：计算底面外接圆半径 设下底面中心为 $O$，上底面中心为 $O_1$ 下底面外接圆半径 $OA=\frac{2}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times 6=2\sqrt{3}$ 上底面外接圆半径 $O_1{A}_1=\frac{2}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times 2=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

第四步：求线面角的正切值 作 $A_{1}H\perp$ 平面 $ABC$ 于 $H$，则 $H$ 落在 $OA$ 上，且 $OH=O_1{A}_1$ 在 $Rt△A_{1}HA$ 中，$A_{1}H=h=4$ 底边 $AH=OA-OH=OA-O_1{A}_1=2\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ 设 $A_{1}A$ 与平面 $ABC$ 所成角为 $\theta$，则： $\tan \theta =\frac{A_{1}H}{AH}=\frac{4}{\frac{4\sqrt{3}}{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

故选：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正三棱台体积公式（ $V=\frac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})$ ）的计算、正三角形边长与外接圆半径的比例转换、空间线面角向平面直角三角形的体现映射。
2. 核心方法：直角梯形轴截面流。在处理正棱柱、正棱锥、正棱台的侧棱、侧面夹角以及线面角问题时，最忌讳的是盲目在三维空间中乱拉辅助线。最清爽的通法是直接切出包含“上下底面几何中心与侧棱顶点”的轴截面。该截面必然是一个规整的直角梯形，利用“高、侧棱、半径差”可以在二维平面上瞬间列出勾股定理或三角函数，实现全盘简化。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（草稿纸运算手抖补上根号导致高度错误）：就像本题分析指出的，部分同学看到公式里一堆 $\sqrt{3}$，容易思维惯性误以为体积也是 $\frac{52}{3}\sqrt{3}$，从而算出 $h=4$。这样带入后会算出 $\tan \theta =\sqrt{3}$。虽然算出来的数很优美，但由于审题不细，直接掉进了命题组设置的代数陷阱。
• 避坑指南 2（正三角形外接圆半径与内切圆半径公式记混）：个别同学在求中心到顶点的距离时，误用内切圆半径公式 $r=\frac{\sqrt{3}}{6}a$，算成了邻边跨度错误。务必明确：中心到顶点是外接圆半径（ $\frac{\sqrt{3}}{3}a$ ），中心到边是内切圆半径（ $\frac{\sqrt{3}}{6}a$ ）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自人教A版选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》以及必修第二册第八章《立体几何初步》中关于“棱台的体积与结构特征”章节后的典型进阶拓广题。新高考命题组在选择题中段设卡，旨在考查考生对非典型立体几何体（棱台）公式的复苏唤醒力以及空间几何图形在经典截面下的平面化分离能力。
2. 结论推广: 将此类“已知正三棱台上下底边长与体积，求侧棱线面角”的模型提炼为一般模型：

• 设正三棱台的下底边长为 $R$，上底边长为 $r$，棱台的高为 $h$。
• 经轴截面直角梯形平移后，其直角邻边（半径差）恒固定服从： $\Delta d=\frac{\sqrt{3}}{3}(R-r)$。
• 由此，该侧棱与底面所成角 $\theta$ 的正切值恒呈现如下高度齐次同构的代数控制范围： $\tan \theta =\frac{\sqrt{3}h}{R-r}$
• 本题中 $R=6,r=2$，算得 $h=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。代入本题数据验证： $\tan \theta =\frac{\sqrt{3}\times \frac{4\sqrt{3}}{3}}{6-2}=\frac{4}{4}=1$。公式化的不变量网络能。

1. 方法推广: 本题所展现的“将空间超越图形（三棱台）通过核心对称轴切出不变量截面、转化为平面几何分式求解”的思想，具有较强的跨章节迁移价值。不仅是选择题基础的，未来在解答题中段的“利用空间向量或几何作高求解圆锥台的侧面积与二面角”、或者是解析几何中“求旋转体在坐标轴体现下的包络面方程”时，其核心思路——“抓住系统的轴对称中轴线，引入特征截面消除冗余的空间自由度，实现高维向平面图形的化归”。掌握这一方法，能为您在立体几何板块提供最坚实的长期有效技术防护。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 1988-全国卷理-15 单-斜线与射影所成的角
• 1988-全国卷理-19 填-四棱锥中的角