2014-浙江卷文-20 解-线面角

本题导读

$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$ 得 $AC\perp BC$，结合面面垂直得 $AC\perp$ 平面 $BCDE$；作 $EF\parallel BD$ 交 $BC$ 于 $F$，$\tan \angle EAF=\frac{\sqrt{13}}{13}$。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(文)） 如图，在四棱锥 $A-BCDE$ 中，平面 $ABC\perp$ 平面 $BCDE$，$\angle CDE=\angle BED=90°$，$AB=CD=2$，$DE=BE=1$，$AC=\sqrt{2}$.

(1) 证明：$AC\perp$ 平面 $BCDE$；

(2) 求直线 $AE$ 与平面 $ABC$ 所成的角的正切值.

🔍【思路分析】

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$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$ 得 $AC\perp BC$，结合面面垂直得 $AC\perp$ 平面 $BCDE$；作 $EF\parallel BD$ 交 $BC$ 于 $F$，$\tan \angle EAF=\frac{\sqrt{13}}{13}$。

✅【答案】

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(1) 证明见解析；(2)$\frac{\sqrt{13}}{13}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 在底面 $BCDE$ 中，$\angle CDE=\angle BED=90°$，$DE=BE=1$，$CD=2$。

以 $D$ 为原点、$DC$ 为 $x$ 轴、$DE$ 为 $y$ 轴建系（或由勾股拼接）：$D(0,0)$，$C(2,0)$，$E(0,1)$，$B(1,1)$，于是 $BC=\sqrt{(2-1{)}^2+(0-1{)}^2}=\sqrt{2}$。

在 $△ABC$ 中：$A{B}^2=4$，$A{C}^2+B{C}^2=2+2=4$，即 $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$。由勾股定理的逆定理，$\angle ACB=90°$，$AC\perp BC$。

又平面 $ABC\perp$ 平面 $BCDE$，交线为 $BC$，$AC\subset$ 平面 $ABC$，由面面垂直的性质定理，$AC\perp$ 平面 $BCDE$。

(2) 接(1)的坐标：$B(1,1)$，$D(0,0)$，故直线 $BD$：$y=x$；直线 $BC$：$x+y=2$，两者斜率 $1$ 与 $-1$，$BD\perp BC$。

由面面垂直的性质（$BD\subset$ 平面 $BCDE$，交线 $BC$），得 $BD\perp$ 平面 $ABC$。

过 $E$ 作 $EF\parallel BD$ 交直线 $BC$ 于 $F$，则 $EF\perp$ 平面 $ABC$。$EF$：$y=x+1$ 与 $x+y=2$ 联立得 $F\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$，于是

$EF=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$CF=\sqrt{{\left(2-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(0-\frac{3}{2}\right)}^2}=\frac{3}{\sqrt{2}}$。

由 $AC\perp$ 平面 $BCDE$ 得 $AC\perp CF$，在 $\mathrm{Rt}△ACF$ 中：$A{F}^2=A{C}^2+C{F}^2=2+\frac{9}{2}=\frac{13}{2}$。

因 $EF\perp$ 平面 $ABC$ 且 $F\in BC$，$AF$ 是 $AE$ 在平面 $ABC$ 内的射影，$\angle EAF$ 即直线 $AE$ 与平面 $ABC$ 所成的角，

$\tan \angle EAF=\frac{EF}{AF}=\frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{13}/\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}}{13}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面垂直的性质定理；线面垂直判定；几何法求线面角

2. 核心方法：“勾股逆定理找线线垂直” + “平移交线的垂线作射影”

3. 避坑指南：底面 $BCDE$ 是有直角的梯形而非矩形，$B$ 点位置要由 $\angle BED=90°$、$DE=BE=1$、$CD=2$ 共同确定，$BC=\sqrt{2}$ 是全题枢纽；求线面角时”垂足 $F$ 落在 $BC$ 延长线上还是线段上”要交代清楚（本题 $F$ 在线段 $BC$ 上）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 空间几何解答题的几何法流派（2014 浙江理 20 同题），浙江卷一贯偏好”少建系、多推理”。

2. 结论推广: 一般地，面面垂直处”作（或平移）交线的垂线”即得面面垂直的垂线，再连结斜线上的点与垂足即得射影与线面角——这是几何法求线面角的固定套路。

3. 方法推广: 线面角几何法三步：定垂线（找或造与交线垂直的线）→ 定射影（连斜足与垂足）→ 在直角三角形中算角。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷理-20 解-空间位置关系的证明
• 2014-新课标I卷理-19 解-线面垂直