2014-大纲卷理-20 解-相互独立事件的乘法公式

本题导读

本题考查相互独立事件的概率计算以及离散型随机变量数学期望的求解。第一问需要分类讨论“至少3人”的两种情况；第二问可以通过求分布列计算期望，也可以利用期望的线性性质简化计算。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(理)） 设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某台设备的概率分别为 $0.6,0.5,0.5,0.4$，各人是否需使用设备相互独立.

(1) 求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；

(2) 用 $X$ 表示同一工作日需使用设备的人数，求 $X$ 的数学期望.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（至少3人）：
   • “至少 3 人”包含两类互斥事件：恰有 3 人使用和 4 人全部使用。
   • 恰有 3 人使用又分为四种情况（甲没用、乙没用、丙没用、丁没用）。
   • 利用独立事件乘法公式分别求出概率并求和。
2. 第二问（期望）：
   • 方法一（分布列法）：求出 $X$ 取 $0,1,2,3,4$ 时的所有概率，写出分布列，利用 $E(X)=\sum x_i{p}_i$ 计算。
   • 方法二（线性性质法）：设 $X=X_1+X_2+X_3+X_4$，其中 $X_i$ 是第 $i$ 个人是否使用设备的 0-1 型随机变量。则 $E(X)=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)+E(X_4)$。

✅【答案】

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所以，至少 3 人需使用设备的概率 $P=P_3+P_4=0.25+0.06=0.31$。；所以 $E(X)=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)+E(X_4)=0.6+0.5+0.5+0.4=2$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 记甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件 $A,B,C,D$。 则 $P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(C)=0.5,P(D)=0.4$。 “至少 3 人需使用设备”包含“恰有 3 人使用”和“4 人均使用”两种情况。

1. 恰有 3 人使用的概率： $P_3=(1-0.6)\times 0.5\times 0.5\times 0.4$（甲不使用） $+0.6\times (1-0.5)\times 0.5\times 0.4$（乙不使用） $+0.6\times 0.5\times (1-0.5)\times 0.4$（丙不使用） $+0.6\times 0.5\times 0.5\times (1-0.4)$（丁不使用） $P_3=0.04+0.06+0.06+0.09=0.25$。
2. 4 人均使用的概率： $P_4=0.6\times 0.5\times 0.5\times 0.4=0.06$。

所以，至少 3 人需使用设备的概率 $P=P_3+P_4=0.25+0.06=0.31$。

(2) 解法一（分布列）： $X$ 的可能取值为 $0,1,2,3,4$。 $P(X=0)=0.4\times 0.5\times 0.5\times 0.6=0.06$； $P(X=1)=0.6\times 0.5\times 0.5\times 0.6+0.4\times 0.5\times 0.5\times 0.6+0.4\times 0.5\times 0.5\times 0.6+0.4\times 0.5\times 0.5\times 0.4=0.25$； $P(X=4)=0.06$（由第一问得）； $P(X=3)=0.25$（由第一问得）； $P(X=2)=1-(0.06+0.25+0.25+0.06)=0.38$。 期望 $E(X)=0\times 0.06+1\times 0.25+2\times 0.38+3\times 0.25+4\times 0.06=2$。

解法二（期望线性性质）： 设 $X_1,X_2,X_3,X_4$ 分别表示甲、乙、丙、丁是否使用设备，使用为 1，不使用为 0。 则 $X_i$ 服从两点分布，其期望等于其发生的概率。 $E(X_1)=0.6,E(X_2)=0.5,E(X_3)=0.5,E(X_4)=0.4$。 由于 $X=X_1+X_2+X_3+X_4$， 所以 $E(X)=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)+E(X_4)=0.6+0.5+0.5+0.4=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立事件同时发生的概率是各自概率的乘积。

2. 核心方法：“拆分与组合”。对于期望题目，若随机变量可以拆分为多个相互独立的简单变量之和，利用 $E(\sum X_i)=\sum E(X_i)$ 可以极大简化运算，避免求复杂的分布列。

3. 避坑指南：第一问计算中容易漏掉某一种情况。建议按“谁不使用”进行有序罗列。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 方差的性质 $V(X_1+X_2)=V(X_1)+V(X_2)$（仅限独立变量）。

2. 结论推广: 若 $n$ 个人使用设备的概率均相等且为 $p$，则 $X\sim B(n,p)$，其期望 $E(X)=np$。

3. 方法推广: 解决“至少/至多”问题时，若正面情况较多，可考虑利用补集思想（$1-P$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-19 解-相互独立事件的概率乘法公式
• 2013-福建卷理-16 解-相互独立事件
• 2013-大纲卷理-20 解-相互独立事件