2013-天津卷文-05 单-圆的切线垂直

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系，以及两条直线垂直的判定。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(文)） 已知过点 $P(2,2)$ 的直线与圆 $(x-1{)}^2+y^2=5$ 相切，且与直线 $ax-y+1=0$ 垂直，则 $a=$()

A. $-\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $(2-1{)}^2+2^2=5$ → $P$ 在圆上。
2. 圆心 $C(1,0)$，$k_{CP}=\frac{2-0}{2-1}=2$ → 切线斜率 $-\frac{1}{2}$。
3. $ax-y+1=0$ 的斜率为 $a$，垂直 → $a\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-1$ → $a=2$。

✅【答案】

点击查看答案

（C）

✍【详细解析】

Abstract

把 $P(2,2)$ 代入圆方程：$(2-1{)}^2+2^2=1+4=5$，故 $P$ 在圆上，过 $P$ 的切线即”过圆上一点的切线”。 圆心 $C(1,0)$，半径 $CP$ 的斜率 $k_{CP}=\frac{2-0}{2-1}=2.$ 由切线垂直于过切点的半径，切线斜率 $k$ 满足 $k\cdot k_{CP}=-1$，即 $k=-\frac{1}{2}.$ 直线 $ax-y+1=0$ 可化为 $y=ax+1$，其斜率为 $a$。两直线垂直，故 $a\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1\Rightarrow a=2.$ 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆相切、两直线垂直

核心方法：$P(2,2)$ 满足 $(2-1{)}^2+2^2=5$ → $P$ 在圆上；$k_{CP}=\frac{2-0}{2-1}=2$ → 切线斜率 $-\frac{1}{2}$；与 $ax-y+1=0$ 垂直：$a\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1$ → $a=2$

避坑指南：点在圆上时，切线⊥过切点的半径：先用圆心与 $P$ 连线求半径斜率 $2$，切线斜率即 $-\frac{1}{2}$；两直线垂直 $\Rightarrow$ 斜率之积 $=-1$（注意 $ax-y+1=0$ 的斜率是 $a$，不是 $-a$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆相切、两直线垂直的斜率关系。

结论推广：点在圆上定切线；斜率之积为 $-1$。

方法推广：验证 $P$ 在圆上 → 求半径斜率 → 切线斜率 → 与 $a$ 联立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷文-07 单-圆的切线
• 2013-山东卷文-13 填-圆最短弦
• 2014-福建卷文-11 单-直线与圆