2013-安徽卷文-08 单-斜率比值交点

本题导读

本题考查函数的图象，以及直线的斜率。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(文)） 函数 $y=f(x)$ 的图象如图所示，在区间 $[a,b]$ 上可找到 $n$（$n⩾2$）个不同的数 $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$，使得 $\frac{f(x_1)}{x_1}=\frac{f(x_2)}{x_2}=\cdots =\frac{f(x_n)}{x_n}$，则 $n$ 的取值范围为()

A. $\{2,3\}$　　　　　B. $\{2,3,4\}$　　　　　C. $\{3,4\}$　　　　　D. $\{3,4,5\}$

🔍【思路分析】

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1. $\frac{f(x_i)}{x_i}=k$ 表示点 $(x_i,f(x_i))$ 都在直线 $y=kx$ 上。
2. 过原点直线 $y=kx$ 转动时与 $[a,b]$ 上的曲线相交：图中曲线呈”$S$ 形”起伏（先升、再平伏回落、又上升），不同斜率可交 $2$、$3$ 或 $4$ 个点。
3. $n$ 的可能取值为 $\{2,3,4\}$。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

条件 $\frac{f(x_1)}{x_1}=\cdots =\frac{f(x_n)}{x_n}=k$ 等价于：诸点 $(x_i,f(x_i))$ 都在过原点的直线 $y=kx$ 上，即直线 $y=kx$ 与曲线 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 内恰有 $n$ 个公共点。 观察图象：$O$ 在 $[a,b]$ 左下方，曲线自左向右先上升、继而平伏回落后再次上升（呈波浪形）。 让直线 $y=kx$ 绕原点转动：

• 斜率较小或较大（直线贴着曲线两端）时，交点最少，为 $2$ 个；
• 直线穿过中间的”波谷”区域时，可交 $3$ 个点；
• 斜率取某些特定值时，直线同时穿过波峰与波谷附近，最多可交 $4$ 个点；
• 由于曲线在 $[a,b]$ 内只有”两个弯”，交点数不可能达到 $5$。 故 $n$ 的取值范围为 $\{2,3,4\}$。 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：过原点直线与曲线的交点个数

核心方法：$\frac{f(x_i)}{x_i}$ 是点 $(x_i,f(x_i))$ 与原点连线的斜率——过原点直线绕转，与图示 $S$ 形曲线在 $[a,b]$ 内可交 $2,3,4$ 个点

避坑指南：$\frac{f(x)}{x}$ 是斜率而非函数值——把条件看成 $f(x_i)$ 相等就全错；交点个数依赖直线转动的位置，最少 2 最多 4（斜率恰切于”拐点”时取到端界），$5$ 个不会出现。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数图象与直线的交点（斜率视角新定义，安徽卷选择题压轴）。

结论推广：$\frac{f(x)-0}{x-0}$ = 过原点直线的斜率；数形结合数交点。

方法推广：翻译条件为”过原点直线与曲线交点” → 想象直线绕原点旋转 → 由图定交点数的可能值集。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 20.16 零点问题

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-09 单-函数图象识别
• 2013-山东卷文-16 填-正对数新定义
• 2013-北京卷文-20 解-数列新定义