2013-广东卷理-05 单-三视图还原

本题导读

本题考查三视图，以及由三视图还原空间几何体。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(理)） 某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()

A. $4$　　　　　　　B. $\frac{14}{3}$　　　　　　　C. $\frac{16}{3}$　　　　　　　D. $6$

🔍【思路分析】

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1. 还原几何体：由三视图（尤其是俯视图）可知，该几何体是一个底面为正方形的四棱台。

2. 确定几何参数：

   • 下底面：俯视图外层正方形边长为 $2$，则下底面积 $S_2=2^2=4$。

   • 上底面：俯视图内层正方形边长为 $1$，则上底面积 $S_1=1^2=1$。

   • 高：正视图和侧视图显示该几何体的高度为 $2$，即 $h=2$。

3. 计算体积：代入棱台体积公式 $V=\frac{1}{3}(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})h$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析三视图获取数据

由俯视图可知，四棱台的下底面是边长为 $2$ 的正方形，上底面是边长为 $1$ 的正方形。

因此：

• 上底面积 $S_1=1\times 1=1$；

• 下底面积 $S_2=2\times 2=4$。

  由正视图（或侧视图）可知，四棱台的高 $h=2$。

第二步：利用公式计算体积

根据棱台体积计算公式：

$V=\frac{1}{3}(S_1+S_2+\sqrt{S_1\cdot S_2})\cdot h$

代入数据：

$V=\frac{1}{3}\times (1+4+\sqrt{1\times 4})\times 2$

$V=\frac{1}{3}\times (5+2)\times 2$

$V=\frac{1}{3}\times 7\times 2=\frac{14}{3}$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：棱台的体积公式。注意根号下是上下底面积的乘积。

核心方法：“识图还原”。在还原时，俯视图决定底面形状，正/侧视图决定高度和侧面倾斜情况。本题中的四棱台有一条侧棱垂直于底面。

避坑指南：不要误记为棱锥公式（缺少中间项）或梯形面积公式的简单空间推演。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：棱锥体积公式 $V=\frac{1}{3}Sh$，棱柱体积公式 $V=Sh$。

结论推广：当 $S_1=S_2$ 时，公式退化为棱柱体积；当 $S_1=0$ 时，公式退化为棱锥体积。

方法推广：对于不规则的三视图还原，可以尝试在长方体模型中进行切割。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-09 单-三视图
• 2015-新课标II卷文-06 单-三视图
• 2015-新课标I卷文-11 单-三视图