2015-福建卷文-09 单-三视图

本题导读

考查三视图还原。正、俯视图合看知底面是直角梯形（两底 1、2，直角腰 1），侧视图给出柱高 2，先算斜腰再分块求表面积。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(文)） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于 ()

A. $8+2\sqrt{2}$　　　　　B. $11+2\sqrt{2}$　　　　　C. $14+2\sqrt{2}$　　　　　D. $15$

🔍【思路分析】

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1. 由三视图还原：底面为直角梯形（两底 $1$ 与 $2$，直角腰 $1$）、高为 $2$ 的直四棱柱。
2. 梯形斜腰 $=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
3. 表面积 $=$ 上下两底 $+$ 侧面四个矩形。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由三视图，该几何体是高为 $2$ 的直四棱柱，底面为直角梯形：两底分别为 $1$、$2$，直角腰长 $1$，斜腰长 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.

底面（梯形）面积 $S_{底}=\frac{(1+2)\times 1}{2}=\frac{3}{2}$，周长 $C_{底}=1+2+1+\sqrt{2}=4+\sqrt{2}$.

故表面积

$S=2S_{底}+C_{底}\cdot h=2\times \frac{3}{2}+(4+\sqrt{2})\times 2=3+8+2\sqrt{2}=11+2\sqrt{2},$

选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三视图还原几何体；直棱柱表面积（两底 $+$ 侧面积）。

2. 核心方法：“先还原、后计算”：底面周长乘高是侧面展开的核心量。

3. 避坑指南：直角梯形的斜腰是 $\sqrt{2}$ 而不是 $1$，漏掉斜面会误算成 $8+2\sqrt{2}$（选 A 的错因就在少了一个 $\sqrt{2}$ 侧面与底的差）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：三视图是新课程标志性考点，2015 年福建文、理各出一题，属中档必考题。

2. 结论推广: 同法可求体积：$V=S_{底}\cdot h=\frac{3}{2}\times 2=3$；表面积与体积联考是该题型的常见变式。

3. 方法推广: “长对正、高平齐、宽相等”还原底面与高，再套柱体表面积公式 $S=2S_{底}+C_{底}h$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-02 单-常见几何体的三视图