2015-新课标I卷文-11 单-三视图

本题导读

由正、俯视图还原出”半球 + 半个圆柱”的组合体，表面积分四块清点：半球面、半圆柱侧、底面圆、矩形截面。

📌【题干】

Question

（2015年新课标I卷(文)） 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 $r$）组成一个几何体. 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为 $16+20\pi$，则 $r=$ ()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $8$

🔍【思路分析】

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1. 还原：几何体 = 半球（半径 $r$）+ 半个圆柱（半径 $r$、高 $2r$）拼接。
2. 表面积四块：半球面 $2\pi r^2$；半圆柱侧 $\frac{1}{2}\cdot 2\pi r\cdot 2r=2\pi r^2$；底面圆 $\pi r^2$；矩形截面 $2r\times 2r=4r^2$。
3. $5\pi r^2+4r^2=20\pi +16\Rightarrow r=2$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由正视图与俯视图可知，几何体由半径为 $r$ 的半球与底面半径 $r$、高 $2r$ 的半个圆柱拼接而成.

其表面积由四部分组成：

• 半球面：$\frac{1}{2}\cdot 4\pi r^2=2\pi r^2$；
• 半个圆柱的侧面：$\frac{1}{2}\cdot (2\pi r)\cdot 2r=2\pi r^2$；
• 底面圆：$\pi r^2$；
• 轴截面（矩形）：$2r\times 2r=4r^2$.

所以

$S=5\pi r^2+4r^2=16+20\pi ,$

比较得 $r^2=4$，即 $r=2$，选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三视图还原组合体；圆柱、球的表面积公式。

2. 核心方法：“还原 → 分块清点”：组合体表面积最容易漏的是内部的”切面”（本题的矩形截面）。

3. 避坑指南：① 别忘加矩形截面 $4r^2$，漏掉后由 $5\pi r^2=20\pi$ 同样得 $r=2$——答案碰巧对，但过程不完整，$16$ 就没有着落；② 半圆柱高是 $2r$，不是 $r$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：“三视图 + 组合体面积体积”是全国卷立体几何小题的高频配置，2015 年理 11 与本题完全同题，2016 年全国Ⅰ文 7 题换成了三棱锥+球。

2. 结论推广: 若把半球换成整球嵌在圆柱一端，表面积中将多出一个半球面，各类面积依结构重新清点，方法不变。

3. 方法推广: 组合体表面积 = 暴露在外的一切面：曲面按公式、平面按投影尺寸逐一清点，画草图标注尺寸防漏。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷理-11 单-三视图
• 2016-全国卷I文-7