2013-广东卷理-19 解-数列通项与和的关系 a_n

本题导读

本题考查数列通项与和的关系。核心在于特值法、构造等差数列法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(理)） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，已知 $a_1=1$，$\frac{2S_n}{n}=a_{n+1}-\frac{1}{3}{n}^2-n-\frac{2}{3}$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

(1)求 $a_2$ 的值；

(2)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(3)证明：对一切正整数 $n$，有 $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}<\frac{7}{4}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求 $a_2$）： 利用 $S_1=a_1=1$，直接令已知等式中的 $n=1$，代入即可解得 $a_2$。
2. 第二问（通项公式）：
   • 将原式写为 $2S_n=n{a}_{n+1}-\frac{1}{3}{n}^3-n^2-\frac{2}{3}n$。
   • 利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ ($n\ge 2$)，两式相减消去 $S_n$。
   • 整理得到关于 $a_{n+1},a_n$ 的递推关系。
   • 观察结构，构造数列 $\left\{\frac{a_n}{n}\right\}$。若满足 $\frac{a_{n+1}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=d$，则利用等差数列公式求解。
3. 第三问（不等式证明）：
   • 代入通项 $a_n=n^2$，原不等式变为 $\sum \frac{1}{k^2}<\frac{7}{4}$。
   • 观察前几项：$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\dots$。
   • 利用放缩法：对于 $n\ge 2$，$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$。
   • 注意保留前几项以优化放缩范围。若直接从第二项放缩，结果为 $1+(1-\frac{1}{n})<2$，不足以证到 $\frac{7}{4}$；故建议从第三项开始放缩。

✅【答案】

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故 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=n^2$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$)。；综上所述，对一切正整数 $n$，原不等式成立

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 当 $n=1$ 时，$\frac{2S_1}{1}=a_2-\frac{1}{3}(1{)}^2-1-\frac{2}{3}$。 因为 $S_1=a_1=1$，所以 $2=a_2-2$。 解得 $a_2=4$。

（Ⅱ）解： 由题意，$2S_n=n{a}_{n+1}-\frac{1}{3}{n}^3-n^2-\frac{2}{3}n$ ……① 当 $n\ge 2$ 时，$2S_{n-1}=(n-1)a_n-\frac{1}{3}(n-1{)}^3-(n-1{)}^2-\frac{2}{3}(n-1)$ ……② ① - ② 得： $2a_n=n{a}_{n+1}-(n-1)a_n-[n^2+n]$ 整理得：$n{a}_{n+1}=(n+1)a_n+n(n+1)$。 两边同时除以 $n(n+1)$： $\frac{a_{n+1}}{n+1}=\frac{a_n}{n}+1⟹\frac{a_{n+1}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=1$ 又当 $n=1$ 时，$\frac{a_2}{2}-\frac{a_1}{1}=\frac{4}{2}-1=1$。 所以数列 $\left\{\frac{a_n}{n}\right\}$ 是以 $\frac{a_1}{1}=1$ 为首项，$1$ 为公差的等差数列。 则 $\frac{a_n}{n}=1+(n-1)\times 1=n$。 故 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=n^2$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$)。

（Ⅲ）证明： 欲证 ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k^2}<\frac{7}{4}$。 当 $n=1$ 时，$\frac{1}{1}<\frac{7}{4}$ 成立；当 $n=2$ 时，$1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}<\frac{7}{4}$ 成立。 当 $n\ge 3$ 时，利用放缩 $\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$： ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}$ ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k^2}<1+\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)$ ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k^2}<1+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}=\frac{7}{4}-\frac{1}{n}$ 因为 $n>0$，所以 $\frac{7}{4}-\frac{1}{n}<\frac{7}{4}$。 综上所述，对一切正整数 $n$，原不等式成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列递推公式求通项、不等式放缩。 5. 核心技巧： - 构造法：在处理 $S_n$ 与 $a_n$ 混杂的等式时，减法降阶是标准第一步。除以 $n(n+1)$ 构造等差数列是本题的“题眼”。 - 放缩法：证明 $\sum \frac{1}{n^2}$ 相关不等式时，$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$ 是最经典的模型。…

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列递推公式求通项、不等式放缩。 5. 核心技巧： - 构造法：在处理 $S_n$ 与 $a_n$ 混杂的等式时，减法降阶是标准第一步。除以 $n(n+1)$ 构造等差数列是本题的“题眼”。 - 放缩法：证明 $\sum \frac{1}{n^2}$ 相关不等式时，$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$ 是最经典的模型。…

结论推广：见详细解析。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型
• 19.05 数列放缩法路径选择与常用模型
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷文-17 解-数列通项
• 2023-新高考I卷-20 解-数列
• 2014-福建卷文-17 解-数列