2013-江西卷理-15 填-参数方程化极坐标方程

本题导读

本题考查坐标系与参数方程，以及参数方程化极坐标方程。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(理)） （选修 4-4：坐标系与参数方程） 设曲线 $C$ 的参数方程为：$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t^2\end{array}$ ($t$ 为参数).若以直角坐标系的原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\underline{}$. （选修 4-5：不等式选讲） 在实数范围内，不等式 $||x-2|-1|\le 1$ 的解集为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 先化为直角坐标方程：通过消去参数 $t$，得到 $y=x^2$。

2. 利用转换公式：利用 $\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \end{array}$ 进行代入。

3. 整理方程：化简得到关于 $\rho$ 和 $\theta$ 的关系式。

4. 利用绝对值性质：对于 $|u|\le a$ ($a>0$)，可转化为 $-a\le u\le a$。

5. 分层求解：先去掉最外层绝对值，再整理得到关于 $|x-2|$ 的简单不等式，最后解出 $x$。

✅【答案】

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（选修 4-4：坐标系与参数方程）$\rho =\frac{\sin \theta }{{\cos }^2\theta }$（或 $\rho {\cos }^2\theta =\sin \theta$）

（选修 4-5：不等式选讲）$[0,4]$

✍【详细解析】

Abstract

由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t^2\end{array}$ 消去 $t$ 得直角坐标方程为：$y=x^2$。 将 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$ 代入得： $\rho \sin \theta =(\rho \cos \theta {)}^2$ $\rho \sin \theta ={\rho }^2{\cos }^2\theta$ 由于 $\rho \ne 0$（原点满足方程），等边除以 $\rho$： $\rho =\frac{\sin \theta }{{\cos }^2\theta }$ 利用同角三角函数关系 ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$，可写作： $\rho =\frac{\sin \theta }{1-{\sin }^2\theta }$ （注：也可表示为 $\rho {\cos }^2\theta =\sin \theta$ 或 $\rho =\tan \theta \sec \theta$）

答案： $\rho =\frac{\sin \theta }{{\cos }^2\theta }$ （或 $\rho {\cos }^2\theta =\sin \theta$）

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📌 15 (2). [选修 4-5：不等式选讲]

解：由 $||x-2|-1|\le 1$ 得： $-1\le |x-2|-1\le 1$ 各部分同时加 1 得： $0\le |x-2|\le 2$ 因为 $|x-2|\ge 0$ 恒成立，所以只需考虑： $|x-2|\le 2$ 解得： $-2\le x-2\le 2$ $0\le x\le 4$ 用集合或区间形式表示解集为 $[0,4]$。

答案： $[0,4]$

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💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：在极坐标方程化简中，要注意分母不能为 0 的隐含条件（如 $\cos \theta =0$ 时的情形），但通常高考填空题接受化简后的标准形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：见详细解析。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷文-14 填-极坐标化参数方程
• 2015-广东卷文-14 填-极坐标参数方程
• 2014-新课标II卷文-23 解-极坐标参数方程