2013-浙江卷文-06 单-三角周期振幅

本题导读

本题考查三角恒等变换，以及三角函数的周期与振幅。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(文)） 函数 $f(x)=\sin x\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x$ 的最小正周期和振幅分别是()

A. $\pi$，$1$　　　　　　B. $\pi$，$2$　　　　　　C. $2\pi$，$1$　　　　　　D. $2\pi$，$2$

🔍【思路分析】

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1. $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ → $f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x$。
2. 辅助角公式：$f(x)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$，$\omega =2$，振幅 $1$。
3. $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

由二倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$，得 $f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x.$ 由辅助角公式（$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$，$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$）： $f(x)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right).$ 所以 $\omega =2$，最小正周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }=\pi ,$ 振幅为 $1$。 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换与周期、振幅

核心方法：$f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$，$T=\frac{2\pi }{2}=\pi$，振幅 $1$

避坑指南：$\sin x\cos x$ 用二倍角降为 $\frac{1}{2}\sin 2x$（系数是 $\frac{1}{2}$ 不是 $1$）；辅助角合并时 $a\sin \omega x+b\cos \omega x$ 的振幅是 $\sqrt{a^2+b^2}$——从原式直接”观察”振幅会漏掉降幂产生的 $\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等变换（二倍角 + 辅助角公式），浙江卷传统考点。

结论推广：$\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$；$a\sin t+b\cos t=\sqrt{a^2+b^2}\sin (t+\phi )$；$T=\frac{2\pi }{\omega }$，振幅即合并后 $\sin$ 前的系数。

方法推广：求周期与振幅的标准路径：降幂（二倍角）→ 化一角一名（辅助角公式）→ 读 $\omega$ 与振幅。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-01 填-三角函数周期
• 2013-新课标II卷文-06 单-三角恒等变换