2013-江西卷文-13 填-辅助角恒成立

本题导读

本题考查三角恒等变换，以及函数的最值与恒成立。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(文)） 设 $f(x)=\sqrt{3}\sin 3x+\cos 3x$，若对任意实数 $x$ 都有 $|f(x)|⩽a$，则实数 $a$ 的取值范围是 　　.

🔍【思路分析】

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1. $f(x)=2\sin \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)$，值域 $[-2,2]$。
2. $|f(x)|⩽a$ 恒成立 $\iff a⩾2$。

✅【答案】

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$[2,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=\sqrt{3}\sin 3x+\cos 3x=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 3x+\frac{1}{2}\cos 3x\right)=2\sin \left(3x+\frac{\pi }{6}\right).$ 故 $-2⩽f(x)⩽2$，$|f(x){|}_{\max }=2$。 $|f(x)|⩽a$ 对任意实数 $x$ 恒成立 $\iff a⩾|f(x){|}_{\max }=2$（$f$ 能取到 $\pm 2$，等号成立）。 所以 $a\in [2,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：辅助角公式与恒成立求参数范围

核心方法：$f(x)=2\sin \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)\in [-2,2]$；$|f(x)|⩽a$ 对一切 $x$ 成立 $\iff a⩾|f(x){|}_{\max }=2$ → $a\in [2,+\infty )$

避坑指南：恒成立翻译成最值：$|f(x)|⩽a$ 恒成立 $\iff a⩾\max |f(x)|$，取得到等号所以 $a=2$ 也行——闭区间 $[2,+\infty )$ 的左端点别写成开；辅助角公式里 $\tan \phi =\frac{1}{\sqrt{3}}$ 定 $\phi =\frac{\pi }{6}$ 别取负。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等变换（辅助角公式）+ 绝对值不等式恒成立。

结论推广：辅助角化一角一名；最值翻译恒成立。

方法推广：化 $A\sin (\omega x+\phi )$ → 读最值 → $a⩾$ 最大绝对值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-16 填-三角函数最值
• 2013-北京卷文-15 解-三角恒等变换求角
• 2013-浙江卷文-06 单-三角周期振幅