2013-浙江卷文-09 单-椭圆双曲线焦点

本题导读

本题考查椭圆的定义，以及双曲线的定义。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(文)） 如图，$F_1$，$F_2$ 是椭圆 $C_1:\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 与双曲线 $C_2$ 的公共焦点，$A$，$B$ 分别是 $C_1$，$C_2$ 在第二、四象限的公共点.若四边形 $A{F}_{1}B{F}_2$ 为矩形，则 $C_2$ 的离心率是()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. $\frac{3}{2}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{6}}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 椭圆：$a_1=2$，$b_1=1$ → $c=\sqrt{3}$，$|F_1{F}_2|=2\sqrt{3}$；$A$ 在椭圆上 → $|A{F}_1|+|A{F}_2|=4$。
2. 矩形 $A{F}_{1}B{F}_2$ → $\angle F_{1}A{F}_2=90^{\circ }$ → $|A{F}_1{|}^2+|A{F}_2{|}^2=|F_1{F}_2{|}^2=12$。
3. 和平方：$16=12+2|A{F}_1||A{F}_2|$ → 积 $=2$；差平方：$|A{F}_1{|}^2+|A{F}_2{|}^2-2|A{F}_1||A{F}_2|=8$ → $|差|=2\sqrt{2}$。
4. 双曲线：$2a_2=2\sqrt{2}$ → $a_2=\sqrt{2}$，$c_2=\sqrt{3}$ → $e=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。

✅【答案】

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（D）

✍【详细解析】

Abstract

由椭圆 $C_1:\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 得 $a_1=2$，$b_1=1$，故 $c=\sqrt{a_1^2-b_1^2}=\sqrt{3}$，$|F_1{F}_2|=2\sqrt{3}$。 $A$ 在椭圆上： $|A{F}_1|+|A{F}_2|=2a_1=4.$ 四边形 $A{F}_{1}B{F}_2$ 为矩形，故 $\angle F_{1}A{F}_2=90^{\circ }$，在 $\mathrm{Rt}△A{F}_1{F}_2$ 中 $|A{F}_1{|}^2+|A{F}_2{|}^2=|F_1{F}_2{|}^2=12.$ 由 $4^2=12+2|A{F}_1||A{F}_2|$ 得 $|A{F}_1||A{F}_2|=2$；于是 ${\left(|A{F}_1|-|A{F}_2|\right)}^2=12-2\times 2=8⟹||A{F}_1|-|A{F}_2||=2\sqrt{2}.$ $A$ 在双曲线 $C_2$ 上，故 $2a_2=2\sqrt{2}$，$a_2=\sqrt{2}$；又 $c_2=c=\sqrt{3}$，所以 $e=\frac{c_2}{a_2}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$ 选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆与双曲线的定义（公共焦点 + 矩形条件）

核心方法：矩形对角线相等 → $A{F}_1\perp A{F}_2$，$|A{F}_1{|}^2+|A{F}_2{|}^2=12$；椭圆 $|A{F}_1|+|A{F}_2|=4$ → 积 $2$ → 差 $2\sqrt{2}=2a_2$ → $e=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$

避坑指南：矩形条件的代数化两条：对角线相等（$|AB|=|F_1{F}_2|$）与邻边垂直（$A{F}_1\perp A{F}_2$）；本题用垂直 + 椭圆定义列勾股方程，再用”和与积”求出”差的绝对值”——这正是双曲线定义所需的量，链环缺一不可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线第一定义的综合运用（浙江卷压轴选择题，当年全省得分率极低）。

结论推广：椭圆：$|A{F}_1|+|A{F}_2|=2a_1=4$，$c_1=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$；双曲线：$||A{F}_1|-|A{F}_2||=2a_2$；矩形对角线 $|F_1{F}_2|=2\sqrt{3}$，$\angle F_{1}A{F}_2=90^{\circ }$。

方法推广：共焦点曲线问题：把几何条件（矩形、垂直、等长）翻译成焦点距离的方程组，由椭圆定义求”和”，勾股求”积”，平方差出”差”，最后套双曲线定义求 $e$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-05 单-椭圆离心率
• 2014-四川卷文-11 填-双曲线离心率
• 2014-大纲卷文-09 单-椭圆标准方程