2013-浙江卷文-22 解-抛物线弦长最值

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与几何性质。核心在于定义读定方程、韦达定理+换元配方求最值的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(文)） 已知抛物线 $C$ 的顶点为 $O(0,0)$，焦点为 $F(0,1)$.

(1)求抛物线 $C$ 的方程；

(2)过点 $F$ 作直线交抛物线 $C$ 于 $A$，$B$ 两点. 若直线 $AO$，$BO$ 分别交直线 $l:y=x-2$ 于 $M$，$N$ 两点，求 $|MN|$ 的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 焦点在 $y$ 轴正半轴，$p=2$（焦点 $\left(0,\frac{p}{2}\right)$）→ $x^2=4y$。
2. (2) 设 $AB:y=kx+1$，代入 $x^2=4y$：$x^2-4kx-4=0$，$x_1+x_2=4k$，$x_1{x}_2=-4$。
3. 直线 $AO:y=\frac{x_1}{4}x$ 与 $y=x-2$ 联立：$x_M=\frac{8}{4-x_1}$，同理 $x_N=\frac{8}{4-x_2}$；$l$ 斜率为 1 → $|MN|=\sqrt{2}|x_M-x_N|$。
4. 通分：$|x_M-x_N|=\frac{8|x_1-x_2|}{|12-4(x_1+x_2)|}=\frac{32\sqrt{k^2+1}}{4|3-4k|}$ → $|MN|=8\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{k^2+1}}{|3-4k|}$。
5. 令 $s=\frac{1}{3-4k}$：$|MN|=8\sqrt{2}|s|\cdot \frac{\sqrt{25s^2-6s+1}}{4|s|}=2\sqrt{2}\sqrt{25s^2-6s+1}=2\sqrt{2}\sqrt{{\left(5s-\frac{3}{5}\right)}^2+\frac{16}{25}}⩾2\sqrt{2}\times \frac{4}{5}=\frac{8\sqrt{2}}{5}$。

✅【答案】

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(1)$x^2=4y$；(2)$|MN|$ 的最小值为 $\frac{8\sqrt{2}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由焦点 $F(0,1)$ 在 $y$ 轴正半轴且 $\frac{p}{2}=1$，得 $p=2$，故抛物线 $C$ 的方程为 $x^2=4y.$ （2）由题意，直线 $AB$ 的斜率存在，设 $AB:y=kx+1$（$k\ne \frac{3}{4}$）。 代入 $x^2=4y$：$x^2-4kx-4=0$，设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则 $x_1+x_2=4k,x_1{x}_2=-4.$ 直线 $AO$ 的方程为 $y=\frac{x_1}{4}x$，与 $y=x-2$ 联立：$\frac{x_1}{4}x=x-2$，解得 $x_M=\frac{8}{4-x_1},\text{同理}{x}_N=\frac{8}{4-x_2}.$ 直线 $l$ 的斜率为 1，故 $|MN|=\sqrt{1+1^2}|x_M-x_N|=\sqrt{2}|x_M-x_N|$。 而 $|x_M-x_N|=8\left|\frac{x_1-x_2}{(4-x_1)(4-x_2)}\right|=8\cdot \frac{\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}}{|16-4(x_1+x_2)+x_1{x}_2|}=8\cdot \frac{4\sqrt{k^2+1}}{|12-16k|},$ 所以 $|MN|=8\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{k^2+1}}{|3-4k|}.$ 令 $s=\frac{1}{3-4k}$（$s\ne 0$），则 $k=\frac{3-\frac{1}{s}}{4}$， $k^2+1=\frac{{\left(3-\frac{1}{s}\right)}^2}{16}+1=\frac{9s^2-6s+1+16s^2}{16s^2}=\frac{25s^2-6s+1}{16s^2},$ 代入得 $|MN|=8\sqrt{2}\cdot |s|\cdot \frac{\sqrt{25s^2-6s+1}}{4|s|}=2\sqrt{2}\sqrt{25s^2-6s+1}=2\sqrt{2}\sqrt{{\left(5s-\frac{3}{5}\right)}^2+\frac{16}{25}}⩾2\sqrt{2}\times \frac{4}{5}=\frac{8\sqrt{2}}{5},$ 当 $s=\frac{3}{25}$（即 $k=-\frac{4}{3}$）时取等。 所以 $|MN|$ 的最小值为 $\frac{8\sqrt{2}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线定义定方程 + 直线与抛物线的最值

核心方法：$2p=4$（$p=2$）→ $x^2=4y$；设 $AB:y=kx+1$ → $x_1{x}_2=-4$；$x_M=\frac{8}{4-x_1}$，$x_N=\frac{8}{4-x_2}$ → $|MN|=8\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{k^2+1}}{|3-4k|}$；令 $s=\frac{1}{3-4k}$ 配方 → 最小 $\frac{8\sqrt{2}}{5}$

避坑指南：两条过原点的直线 $AO$、$BO$ 与定直线 $l$ 的交点，用横坐标差 $\times \sqrt{2}$ 算 $|MN|$（$l$ 斜率为 1）；韦达定理先给 $x_1{x}_2=-4$、$x_1+x_2=4k$，通分后分母出现 $3-4k$——最后一步换元 $s=\frac{1}{3-4k}$ 二次配方比直接对分式求导更贴近文科工具箱；注意 $k=\frac{3}{4}$ 时分母为零（$MN$ 不存在），要排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线与直线相交的最值（浙江卷压轴题）。

结论推广：$x^2=4y$ 中 $x_1{x}_2=-4$；$M$、$N$ 横坐标 $x=\frac{8}{4-x_i}$；$|MN{|}^2=2(x_M-x_N{)}^2=128\cdot \frac{k^2+1}{(3-4k{)}^2}$。

方法推广：“过焦点的弦 + 过原点连线交定直线”型：设直线 $y=kx+1$ → 韦达定理 → 求交点横坐标 → 弦长表示为 $k$ 的函数 → 换元配方（或求导）求最值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-09 填-抛物线焦点准线
• 2013-大纲卷文-12 单-抛物线与向量垂直
• 2013-新课标I卷文-08 单-抛物线焦点三角形