2013-湖南卷理-19 解-线面垂直

本题导读

本题考查直线与平面的位置关系。核心在于几何证明法、空间向量坐标法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(理)） 如图5，在直棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AD\parallel BC,\angle BAD=90^{\circ },AC\perp BD,BC=1,AD=A{A}_1=3$.

(1)证明：$AC\perp B_{1}D$；

(2)求直线 $B_1{C}_1$ 与平面 $AC{D}_1$ 所成角的正弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（证明）：
   • 利用直棱柱性质：侧棱 $B_{1}B\perp$ 底面 $ABCD$。
   • 找出 $B_{1}D$ 在底面上的投影为 $BD$。
   • 已知 $AC\perp BD$，根据三垂线定理（或线面垂直判定）证明 $AC\perp B_{1}D$。
2. 第二问（计算）：
   • 建系：以 $A$ 为原点，$AB,AD,A{A}_1$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
   • 求参数：由于 $AB$ 长度未知，设 $AB=m$。利用第一问或已知 $AC\perp BD$ 的垂直关系，通过向量数量积为 0 求出 $m$ 的值。
   • 求法向量：确定平面 $AC{D}_1$ 上两个向量，求出其法向量 $\vec{n}$。
   • 求成角：确定直线 $B_1{C}_1$ 的方向向量 $\vec{v}$，利用公式 $\sin \theta =|\cos ⟨\vec{n},\vec{v}⟩|=\frac{|\vec{n}\cdot \vec{v}|}{|\vec{n}||\vec{v}|}$ 计算。

✅【答案】

点击查看答案

所以 $BD$ 为直线 $B_{1}D$ 在平面 $ABCD$ 内的射影。；所以，直线 $B_1{C}_1$ 与平面 $AC{D}_1$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）证明： 因为在直棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，侧棱 $B_{1}B\perp$ 平面 $ABCD$， 所以 $BD$ 为直线 $B_{1}D$ 在平面 $ABCD$ 内的射影。 已知在底面四边形 $ABCD$ 中，$AC\perp BD$， 由三垂线定理可知，$AC\perp B_{1}D$。

（Ⅱ）解： 以 $A$ 为坐标原点，$AB,AD,A{A}_1$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。 设 $AB=m$，由题意得各点坐标： $A(0,0,0),C(m,1,0),D(0,3,0),D_1(0,3,3),B_1(m,0,3)$。 则 $\overrightarrow{AC}=(m,1,0)$，$\overrightarrow{B_{1}D}=(-m,3,-3)$。 由（Ⅰ）知 $AC\perp B_{1}D$，故 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{B_{1}D}=0$， 即 $-m^2+3+0=0⟹m=\sqrt{3}$。 则 $\overrightarrow{AC}=(\sqrt{3},1,0)$，$A$ 点坐标为 $(0,0,0)$，$D_1$ 点坐标为 $(0,3,3)$，$\overrightarrow{A{D}_1}=(0,3,3)$。

设平面 $AC{D}_1$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，则： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{AC}=\sqrt{3}x+y=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{A{D}_1}=3y+3z=0\end{array}$ 令 $x=1$，则 $y=-\sqrt{3},z=\sqrt{3}$。故 $\vec{n}=(1,-\sqrt{3},\sqrt{3})$。

又因为 $B_1{C}_1\parallel BC$，且 $BC$ 在 $y$ 轴方向（$AD\parallel BC$）， 直线 $B_1{C}_1$ 的方向向量可取 $\vec{v}=(0,1,0)$。 设直线 $B_1{C}_1$ 与平面 $AC{D}_1$ 所成角为 $\theta$，则： $\sin \theta =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{v}|}{|\vec{n}||\vec{v}|}=\frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2}\cdot 1}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$ 所以，直线 $B_1{C}_1$ 与平面 $AC{D}_1$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间向量解决立体几何问题；线面角计算公式。 2. 核心技巧：“待定参数法”。在建系时，如果某条棱长未知，先设为 $m$，再利用已知垂直条件（如 $AC\perp BD$）反求 $m$，这是压轴几何题的常用手段。

核心方法：见详细解析

避坑指南：求法向量时方程组不要解错；线面角的正弦值对应法向量与方向向量夹角的余弦绝对值，注意公式转换。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间向量解决立体几何问题；线面角计算公式。 2. 核心技巧：“待定参数法”。在建系时，如果某条棱长未知，先设为 $m$，再利用已知垂直条件（如 $AC\perp BD$）反求 $m$，这是压轴几何题的常用手段。

结论推广：直棱柱中，若底面两对角线垂直，则侧棱与对角面往往存在特定的垂直或投影关系。

方法推广：对于不便于寻找投影点的线面角问题，空间向量法是唯一通用的“暴力”解法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题
• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2015-浙江卷文-18 解-线面垂直角
• 2013-湖南卷文-17 解-线面垂直体积
• 2015-山东卷文-18 解-线面平行与垂直