2014-江西卷文-14 填-椭圆离心率

本题导读

设 $A\left(c,\frac{b^2}{a}\right)$、$B\left(c,-\frac{b^2}{a}\right)$，求出 $D\left(0,-\frac{b^2}{2a}\right)$，再由 $\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{F_{1}B}$ 列方程。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(文)） 设椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点为 $F_1$，$F_2$，过 $F_2$ 作 $x$ 轴的垂线与 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，$F_{1}B$ 与 $y$ 轴交于点 $D$.若 $AD\perp F_{1}B$，则椭圆 $C$ 的离心率等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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过 $F_2(c,0)$ 的垂线为 $x=c$；直线 $F_{1}B$ 与 $y$ 轴的交点 $D$ 可由两点式求出。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

不妨设 $A$ 在 $x$ 轴上方。将 $x=c$ 代入椭圆方程得 $y=\pm \frac{b^2}{a}$，故 $A\left(c,\frac{b^2}{a}\right)$，$B\left(c,-\frac{b^2}{a}\right)$。 直线 $F_{1}B$ 过 $F_1(-c,0)$ 与 $B\left(c,-\frac{b^2}{a}\right)$，令 $x=0$ 得 $y=-\frac{b^2}{2a}$，即 $D\left(0,-\frac{b^2}{2a}\right)$。 于是 $\overrightarrow{AD}=\left(-c,-\frac{b^2}{2a}-\frac{b^2}{a}\right)=\left(-c,-\frac{3b^2}{2a}\right)$，$\overrightarrow{F_{1}B}=\left(2c,-\frac{b^2}{a}\right)$。 由 $AD\perp F_{1}B$ 得 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{F_{1}B}=0$，即 $-2c^2+\frac{3b^4}{2a^2}=0$，化简得 $3b^4=4a^2{c}^2$。 设离心率 $e=\frac{c}{a}$，由 $b^2=a^2-c^2=a^2(1-e^2)$ 代入得 $3a^4(1-e^2{)}^2=4a^4{e}^2$，即 $3e^4-10e^2+3=0$。 解得 $e^2=\frac{1}{3}$ 或 $e^2=3$；由 $0<e<1$ 舍去 $e^2=3$，故 $e=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的离心率与几何性质

2. 核心方法：设点坐标 + 向量垂直

3. 避坑指南：关键是求出 $D$ 点：直线 $F_{1}B$ 与 $y$ 轴的交点为 $\left(0,-\frac{b^2}{2a}\right)$；垂直条件用 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{F_{1}B}=0$ 转化为关于 $a$、$b$、$c$ 的方程，再由 $b^2=a^2-c^2$ 统一为离心率的方程。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 椭圆中由垂直关系求离心率。

2. 结论推广: 过焦点作长轴的垂线，与椭圆交点为 $\left(c,\frac{b^2}{a}\right)$，这是求离心率问题的常见辅助点。

3. 方法推广: 离心率问题不需求出 $a$、$c$ 的具体值，只需把几何条件转化为关于 $e$ 的方程，最后用 $0<e<1$ 舍去增根。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷理-16 填-离心率
• 2014-新课标I卷理-20 解-椭圆方程与性质