2013-辽宁卷文-11 单-椭圆离心率

本题导读

本题考查椭圆的定义，以及椭圆的离心率。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(文)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点为 $F$，$C$ 与过原点的直线相交于 $A$，$B$ 两点，连接 $AF$，$BF$. 若 $|AB|=10$，$|BF|=8$，$\cos \angle ABF=\frac{4}{5}$，则 $C$ 的离心率为()

A. $\frac{3}{5}$　　　　　　　B. $\frac{5}{7}$　　　　　　　C. $\frac{4}{5}$　　　　　　　D. $\frac{6}{7}$

🔍【思路分析】

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1. $|AF{|}^2=100+64-2\cdot 10\cdot 8\cdot \frac{4}{5}=36$ → $|AF|=6$。
2. $6^2+8^2=10^2$ → $AF\perp BF$ → $c=|OF|=\frac{|AB|}{2}=5$。
3. 对称性：$|BF\prime |=|AF|=6$ → $2a=8+6=14$，$a=7$。
4. $e=\frac{5}{7}$。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABF$ 中，由余弦定理： $|AF{|}^2=|AB{|}^2+|BF{|}^2-2|AB||BF|\cos \angle ABF=100+64-2\times 10\times 8\times \frac{4}{5}=36,$ $|AF|=6$。 由 $6^2+8^2=36+64=100=|AB{|}^2$，得 $\angle AFB=90^{\circ }$，$AF\perp BF$。 设右焦点为 $F\prime$。因 $AB$ 过椭圆中心，$A$ 与 $B$ 关于中心对称；又 $F$ 与 $F\prime$ 关于中心对称，故 $|BF\prime |=|AF|=6$。 由椭圆定义：$2a=|BF|+|BF\prime |=8+6=14$，$a=7$。 $AF\perp BF$ 且 $O$ 为 $AB$ 中点（直角三角形斜边上的中线等于斜边一半）： $c=|OF|=\frac{|AB|}{2}=5.$ 所以 $e=\frac{c}{a}=\frac{5}{7}$。 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的定义与离心率（焦点三角形）

核心方法：$△ABF$ 中 $|AF|=6$ 且 $6^2+8^2=10^2$ → $AF\perp BF$；由对称性 $c=\frac{|AB|}{2}=5$，$2a=|BF|+|BF\prime |=8+6=14$ → $e=\frac{5}{7}$

避坑指南：AB 过椭圆中心，$A$、$B$ 关于中心对称 → $F\prime$ 与 $F$ 也对称 → $|BF\prime |=|AF|$、$|AF\prime |=|BF|$，于是 $2a=|BF|+|BF\prime |$；$F$ 到 $A$、$B$ 距离 6、8 且 $AB=10$，由 $|OF{|}^2=\frac{|AF{|}^2+|BF{|}^2}{2}-{\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2$ 或直接由直角三角形斜边中线得 $c=5$——认出”直角 + 斜边中线”是关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆定义（中心对称弦）与离心率。

结论推广：椭圆定义凑 $2a$；直角三角形斜边中线。

方法推广：余弦定理求 $|AF|$ → 判直角 → 对称性定 $c$ 与 $a$ → 求 $e$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.07 焦点三角形专题

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-05 单-椭圆离心率
• 2013-福建卷文-15 填-椭圆离心率
• 2014-大纲卷文-09 单-椭圆标准方程