2013-福建卷理-12 填-三视图还原

本题导读

本题考查三视图，以及由三视图还原空间几何体。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(理)） 已知某一个多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为 2 的正方形，则该球的表面积是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 三视图还原：
   • 正视图和俯视图都是一个圆内接正方形。
   • 这意味着从正面看和从上面看，多面体都是正方形，且恰好顶在球面上。
   • 这种高度对称性说明该内接多面体是一个正方体。
2. 确定几何参数：
   • 图中正方形的边长为 $2$，即正方体的棱长 $a=2$。
3. 建立球与多面体的关系：
   • 正方体内接于球，意味着正方体的 8 个顶点都在球面上。
   • 几何结论：正方体的体对角线等于球的直径（即 $2R=\sqrt{3}a$）。
4. 计算表面积：
   • 求出半径 $R$ 或 $R^2$ 后，代入球的表面积公式 $S=4\pi R^2$。

✅【答案】

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$12\pi$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：还原空间几何体 由正视图和俯视图均为圆内接正方形，可以判定该组合体是由一个球体及其内接正方体构成的。 其中，正方形的边长 $2$ 即为内接正方体的棱长。

第二步：求球的半径 设正方体的棱长为 $a=2$，球的半径为 $R$。 正方体的体对角线长度为 $L=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3}a$。 因为正方体内接于球，所以体对角线即为球的直径： $2R=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ 解得：$R=\sqrt{3}$。

第三步：计算球的表面积 根据球的表面积公式： $S=4\pi R^2=4\pi \times (\sqrt{3}{)}^2=4\pi \times 3=12\pi$

故答案为：$12\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：外接球问题。对于特殊的几何体（如长方体、正方体），其外接球的直径等于其体对角线长度。

核心方法：“对角线模型”。 - 长方体外接球：$(2R{)}^2=a^2+b^2+c^2$ - 正方体外接球：$(2R{)}^2=3a^2$

避坑指南：不要将正视图中的圆看作正方体面的外接圆。三视图中的圆是球的投影（大圆），圆内接的正方形是正方体在投影面上的投影，此时圆的直径对应的是正方体的体对角线。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：棱柱的体积、球的体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$。

结论推广：若该多面体是球的内切正方体，则正方体的棱长等于球的直径（$a=2R$）。

方法推广：处理三视图问题，首先尝试还原直观图。如果难以还原，可以利用“长对正、高平齐、宽相等”的原则提取几何体在三个维度上的度量参数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-09 单-三视图
• 2015-新课标II卷文-06 单-三视图
• 2015-新课标I卷文-11 单-三视图