2013-辽宁卷文-02 单-复数除法求模

本题导读

本题考查复数的四则运算，以及复数的模。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(文)） 复数 $z=\frac{1}{i-1}$（$i$ 为虚数单位）的模为()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. $|i-1|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$。
2. $|z|=\frac{|1|}{|i-1|}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

法一（先化简）：$z=\frac{1}{i-1}=\frac{i+1}{(i-1)(i+1)}=\frac{1+i}{i^2-1}=\frac{1+i}{-2}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$。 $|z|=\sqrt{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ 法二（模的除法性质）：$|z|=\frac{|1|}{|i-1|}=\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的除法与模

核心方法：$z=\frac{1}{i-1}=\frac{i+1}{(i-1)(i+1)}=\frac{1+i}{-2}=-\frac{1+i}{2}$ → $|z|=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

避坑指南：分母实数化乘共轭 $(i+1)$：$(i-1)(i+1)=i^2-1=-2$ 是 $-2$ 不是 $2$；模也可用 $|z|=\frac{|1|}{|i-1|}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，两法结果一致可互验。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的除法（分母实数化）与模的计算。

结论推广：分母实数化；模的除法性质。

方法推广：乘共轭化 $a+bi$ → 套模公式（或 $|z|=\frac{|1|}{|i-1|}$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-02 单-复数除法
• 2013-新课标II卷文-02 单-复数除法
• 2013-山东卷文-01 单-复数模