2013-新课标II卷文-02 单-复数除法

本题导读

本题考查复数的除法运算，以及复数的模。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(文)） $\left|\frac{2}{1+\mathrm{i}}\right|=$()

A. $2\sqrt{2}$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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1. 思路一：$\frac{2}{1+\mathrm{i}}=\frac{2(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}$。
2. 思路二：$\left|\frac{2}{1+\mathrm{i}}\right|=\frac{|2|}{|1+\mathrm{i}|}$。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

思路一（先化简再取模）： $\frac{2}{1+\mathrm{i}}=\frac{2(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}=\frac{2(1-\mathrm{i})}{2}=1-\mathrm{i},$ 所以 $\left|\frac{2}{1+\mathrm{i}}\right|=|1-\mathrm{i}|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$。 思路二（用模的运算性质）： $\left|\frac{2}{1+\mathrm{i}}\right|=\frac{|2|}{|1+\mathrm{i}|}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.$ 两种方法都得到 $\sqrt{2}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的除法与复数的模

核心方法：分母实数化（同乘共轭），或直接用 $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$

避坑指南：$\left|\frac{2}{1+\mathrm{i}}\right|\ne \frac{2}{\left|1+\mathrm{i}\right|}$ 吗？其实相等——模可以”分开算”，但复数除法本身不能直接把 $2$ 除以 $\sqrt{2}$ 得到结果，两者路径不同、结论相同。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的运算与模（全国卷必考小题）。

结论推广：$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$（$z_2\ne 0$）。

方法推广：求商的模：既可先算商再取模，也可用模的可除性直接算 $\frac{|z_1|}{|z_2|}$，后者更快。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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