2013-辽宁卷文-09 单-直角三角形分类

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及两条直线垂直的斜率关系。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(文)） 已知点 $O(0,0)$，$A(0,b)$，$B(a,a^3)$. 若 $△OAB$ 为直角三角形，则必有()

A. $b=a^3$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $b=a^3+\frac{1}{a}$

C. $\left(b-a^3\right)\left(b-a^3-\frac{1}{a}\right)=0$　　　　　　　　　　D. $\left|b-a^3\right|+\left|b-a^3-\frac{1}{a}\right|=0$

🔍【思路分析】

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1. $O$ 处直角：$b{a}^3=0$ → 退化，舍。
2. $A$ 处直角：$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}=b(a^3-b)=0$ → $b=a^3$。
3. $B$ 处直角：$\overrightarrow{BO}\cdot \overrightarrow{BA}=a^2-a^3(b-a^3)=0$ → $b=a^3+\frac{1}{a}$。
4. 合并：$(b-a^3)\left(b-a^3-\frac{1}{a}\right)=0$。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

① 直角顶点为 $O$：$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=b\cdot a^3=0$，即 $b=0$ 或 $a=0$，此时 $O$、$A$、$B$ 不能构成三角形，舍。 ② 直角顶点为 $A$：$\overrightarrow{AO}=(0,-b)$，$\overrightarrow{AB}=(a,a^3-b)$， $\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AB}=-b(a^3-b)=0\Rightarrow b=a^3(\text{或}b=0\text{退化，舍}).$③ 直角顶点为 $B$：$\overrightarrow{BO}=(-a,-a^3)$，$\overrightarrow{BA}=(-a,b-a^3)$， $\overrightarrow{BO}\cdot \overrightarrow{BA}=a^2-a^3(b-a^3)=0\Rightarrow a^3\left(b-a^3\right)=a^2\Rightarrow b=a^3+\frac{1}{a}.$综上 $b=a^3$ 或 $b=a^3+\frac{1}{a}$，即 $\left(b-a^3\right)\left(b-a^3-\frac{1}{a}\right)=0.$ D 选项要求两项绝对值之和为零，即两式同时为零（$a^3=a^3+\frac{1}{a}$，不可能），是”且”不是”或”。 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直角三角形的分类讨论（坐标条件）

核心方法：三个顶点都可能是直角顶点：$O$ 处直角退化（$b{a}^3=0$）；$A$ 处直角 → $b=a^3$；$B$ 处直角 → $b=a^3+\frac{1}{a}$；合并 $(b-a^3)\left(b-a^3-\frac{1}{a}\right)=0$

避坑指南：三角形为直角必须分三个顶点讨论，逐一算数量积为零——$O$ 处直角给出 $b=0$ 或 $a=0$，都使三点退化（不能构成三角形），要舍去；两个真条件是”或”的关系，用乘积为零合并成 C 的形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：坐标条件下直角三角形的分类讨论。

结论推广：向量数量积为零；分类合并。

方法推广：逐顶点算垂直条件 → 舍退化 → 因式乘积合并。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-03 单-向量垂直
• 2013-大纲卷文-12 单-抛物线与向量垂直
• 2013-山东卷文-15 填-向量垂直求参