2013-重庆卷文-16 解-等比数列与等差

本题导读

本题考查等比数列的通项公式。核心在于基本量法、公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(文)） 设数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=1$，$a_{n+1}=3a_n$，$n\in {\mathbf{N}}^{+}$.

(1)求 $\{a_n\}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_n$；

(2)已知 $\{b_n\}$ 是等差数列，$T_n$ 为其前 $n$ 项和，且 $b_1=a_2$，$b_3=a_1+a_2+a_3$，求 $T_{20}$.

🔍【思路分析】

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1. $(1)$ 公比 $3$ → $a_n=3^{n-1}$，$S_n=\frac{1-3^n}{1-3}=\frac{3^n-1}{2}$。
2. $(2)$ $b_1=a_2=3$；$b_3=a_1+a_2+a_3=1+3+9=13$。
3. $d=\frac{b_3-b_1}{2}=5$ → $T_{20}=20\times 3+\frac{20\times 19}{2}\times 5=60+950=1010$。

✅【答案】

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(1)$a_n=3^{n-1}$，$S_n=\frac{3^n-1}{2}$；(2)$1010$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 由 $a_{n+1}=3a_n$ 且 $a_1=1\ne 0$ 知 $\{a_n\}$ 是首项为 $1$、公比为 $3$ 的等比数列，故 $a_n=3^{n-1}.$ 由等比数列求和公式： $S_n=\frac{1-3^n}{1-3}=\frac{3^n-1}{2}.$ （2） $b_1=a_2=3$。 又 $a_1=1$，$a_2=3$，$a_3=9$，故 $b_3=a_1+a_2+a_3=1+3+9=13.$ 设 $\{b_n\}$ 的公差为 $d$，则 $d=\frac{b_3-b_1}{3-1}=\frac{13-3}{2}=5.$ 由等差数列求和公式： $T_{20}=20b_1+\frac{20\times 19}{2}d=20\times 3+190\times 5=60+950=1010.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列与等差数列的基本量

核心方法：$(1)$ $\{a_n\}$ 是首项 $1$、公比 $3$ 的等比数列 → $a_n=3^{n-1}$，$S_n=\frac{3^n-1}{2}$。\n$(2)$ $b_1=a_2=3$，$b_3=a_1+a_2+a_3=13$ → $d=\frac{13-3}{2}=5$ → $T_{20}=20\times 3+\frac{20\times 19}{2}\times 5=1010$

避坑指南：$T_n$ 的公式别写错：$T_{20}=20b_1+\frac{20\times 19}{2}d$；$b_3$ 是前三项之和 $1+3+9=13$，不是 $a_3=9$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列的通项与求和、等差数列的通项与求和。

结论推广：等比数列通项与求和公式；等差中项定公差；等差数列求和公式。

方法推广：识别等比 → 写 $a_n,S_n$ → 由 $b_1,b_3$ 定 $d$ → 套 $T_{20}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-11 填-等比数列求和
• 2013-大纲卷文-07 单-等比数列求和
• 2013-大纲卷文-17 解-等差数列与裂项求和