2014-新课标I卷文-15 填-分段函数不等式

本题导读

$x<1$ 段整段满足（$\ln 3>1$）；$x\ge 1$ 段解得 $x\le 8$。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(文)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^x-1,& x<1,\\ x^{\frac{1}{3}},& x\ge 1,\end{array}$ 则使得 $f(x)\le 2$ 成立的 $x$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$x<1$ 段整段满足（$\ln 3>1$）；$x\ge 1$ 段解得 $x\le 8$。并起来 $x\le 8$。

✅【答案】

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$x\le 8$

✍【详细解析】

Abstract

$x<1$ 段：$e^x-1\le 2⟺e^x\le 3⟺x\le \ln 3$。因为 $\ln 3>1$，所以 $x<1$ 整段满足。

$x\ge 1$ 段：$x^{\frac{1}{3}}\le 2⟺x\le 8$，结合 $x\ge 1$ 得 $1\le x\le 8$。

两段取并：$x<1$ 或 $1\le x\le 8$，即 $x\le 8$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数不等式；指数与幂运算

2. 核心方法：分段讨论，各段”段条件 ∧ 段内不等式”取交，再取并

3. 避坑指南：$x<1$ 段解出 $x\le \ln 3$ 后必须与段条件 $x<1$ 取交，才能发现整段都行；直接拿 $x\le \ln 3$ 与第二段的解拼接会出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 分段函数解不等式（doc 考点定位：分段函数、不等式），2015 年新课标Ⅰ文第 10 题（分段函数）同族。

2. 结论推广: 一般地，分段不等式 $f(x)\le c$：每段”段条件 ∧ 段内不等式”取交，各段结果再取并。

3. 方法推广: 分段函数问题永远”分段处理、最后合并”，画图辅助更直观。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷理-15 填-偶函数定义与性质
• 2015-新课标I卷文-10 单-分段函数