2014-大纲卷文-08 单-等比数列片段和

本题导读

$S_4=S_2+q^2{S}_2$ 得 $q^2=4$，$S_6=S_2(1+q^2+q^4)=3\times 21=63$，选 C。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(文)） 设等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $S_2=3$，$S_4=15$，则 $S_6=$ ()

A. 31　　　　　　　B. 32　　　　　　　C. 63　　　　　　　D. 64

🔍【思路分析】

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$S_4=S_2+q^2{S}_2$ 得 $q^2=4$，$S_6=S_2(1+q^2+q^4)=3\times 21=63$，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

若 $q=1$，则 $S_4=2S_2=6\ne 15$，故 $q\ne 1$。

把 $S_4$ 按每两项分块：$S_4=S_2+q^2{S}_2$（第 3、4 项分别是第 1、2 项的 $q^2$ 倍），故 $15=3(1+q^2)$，$q^2=4$。

同理 $S_6=S_2+q^2{S}_2+q^4{S}_2=3\times (1+4+16)=63$。

选 C。（$q=2$ 或 $q=-2$ 均满足 $q^2=4$，但 $S_6$ 只含 $q^2$、$q^4$，两种取值结果相同，不影响答案。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列前 $n$ 项和；等比数列的片段和性质

2. 核心方法：“每两项分块”：$S_{2k}-S_{2k-2}=q^2(S_{2k-2}-S_{2k-4})$

3. 避坑指南：①$q=1$ 的情形要先行排除；②$S_4=15$ 只能定出 $q^2=4$，$q$ 的符号不定——但 $S_6=63$ 与 $q$ 的符号无关，选项中 63 唯一。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 等比数列片段和题（doc 考点定位：数列），与 2014 年新课标Ⅱ理第 17 题同章。

2. 结论推广: 一般地，等比数列（$q\ne 1$）中 $S_2,S_4-S_2,S_6-S_4,\dots$ 仍成等比，公比 $q^2$；由此 $S_4^2$ 类比可快速检验 $S_2,S_4,S_6$ 的关系 $（S_4-S_2{)}^2=S_2(S_6-S_4)$。

3. 方法推广: 等比数列 $S_n$ 问题：优先”分块看片段和”，避开通项与 $q$ 的符号讨论。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-05 单-等差等比数列
• 2014-新课标II卷理-17 解-等比数列定义与通项公式