2020-上海卷-04 填-反函数

本题导读

本题考查反函数的概念，以及反函数的求法。

📌【题干】

Question

（2020年上海卷）已知函数 $f(x)=x^3$，$f^{-1}(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数，则 $f^{-1}(x)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解符号：题干中的 $f^{-1}(x)$（注：原图中印刷略显模糊，通常表示反函数）代表 $f(x)$ 的反函数。
2. 基本流程：

• 第一步：令 $y=x^3$；
• 第二步：反解 $x$，将 $x$ 用 $y$ 表示；
• 第三步：交换 $x,y$ 符号，并注明定义域（若有必要）。

✅【答案】

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\sqrt[3]{x}

✍【详细解析】

Abstract

已知函数 $y=x^3$，其定义域为 $\mathbb{R}$，值域为 $\mathbb{R}$。

1. 反解 $x$： 对 $y=x^3$ 两边开三次方根，得： $x=\sqrt[3]{y}$

2. 交换变量： 将 $x$ 与 $y$ 互换，得到反函数的解析式为： $y=\sqrt[3]{x}$ 即 $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$（也可以写成 $x^{\frac{1}{3}}$）。

最终答案为：\sqrt[3]{x}

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 符号规范：上海卷有时使用 $f^{-1}(x)$ 这种国际通用符号表示反函数。
2. 存在性：只有一一映射的函数（在定义域内单调）才存在反函数。$y=x^3$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，故存在反函数。
3. 几何特征：函数与其反函数的图像关于直线 $y=x$ 对称。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论的推广:
  • 对于幂函数 $f(x)=x^n$ ($n$ 为奇数)，其反函数为 $f^{-1}(x)=x^{1/n}$。
  • 指数函数 $y=a^x$ 与对数函数 $y={\log }_{a}x$ 互为反函数。
• 方法的推广:
  • 求反函数时，必须注意原函数的值域即为反函数的定义域。对于某些分段函数或有限定义域函数，漏写反函数的定义域是常见扣分点。
• 相关知识点:
  • 单调性：原函数与其反函数在各自定义域内的单调性一致。
  • 奇偶性：若原函数是奇函数且存在反函数，则其反函数也是奇函数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷理-20 解-反函数的求法与定义域
• 2010-江西卷文-08 单-反函数与图象对称
• 2014-上海卷文-20 解-反函数与奇偶性