2014-北京卷理-14 填-正弦型函数的对称性

本题导读

本题通过正弦型函数的对称轴、对称中心以及区间单调性等性质，综合考查学生对三角函数图象变换及周期定义的深刻理解。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(理)） 设函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\varphi )$（$A,\omega ,\varphi$ 是常数，$A>0,\omega >0$）.若 $f(x)$ 在区间 $[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}]$ 上具有单调性，且 $f(\frac{\pi }{2})=f(\frac{2\pi }{3})=-f(\frac{\pi }{6})$，则 $f(x)$ 的最小正周期为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 寻找对称轴：已知 $f(\frac{\pi }{2})=f(\frac{2\pi }{3})$，根据正弦函数图象的对称性，相等函数值点关于对称轴对称，可求出一条对称轴。
2. 寻找对称中心：已知 $f(\frac{\pi }{2})=-f(\frac{\pi }{6})$，即 $f(\frac{\pi }{2})+f(\frac{\pi }{6})=0$，说明这两个点关于某个对称中心 $(x_0,0)$ 对称，可求出对称中心横坐标。
3. 利用特征距离求周期：利用“相邻的对称轴与对称中心之间的距离为 $\frac{T}{4}$”这一性质建立方程。
4. 单调性校验：由区间 $[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}]$ 上的单调性限制，确保求得的周期满足区间长度 $\Delta x\le \frac{T}{2}$ 且不跨越对称轴。

✅【答案】

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$\pi$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定对称轴 由 $f(\frac{\pi }{2})=f(\frac{2\pi }{3})$ 知，$x=\frac{\frac{\pi }{2}+\frac{2\pi }{3}}{2}=\frac{7\pi }{12}$ 是函数 $f(x)$ 的一条对称轴。

第二步：确定对称中心 由 $f(\frac{\pi }{2})=-f(\frac{\pi }{6})$ 知，点 $(\frac{\pi }{2},f(\frac{\pi }{2}))$ 与点 $(\frac{\pi }{6},f(\frac{\pi }{6}))$ 关于对称中心对称。 对称中心横坐标为 $x=\frac{\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}}{2}=\frac{\pi }{3}$。 即函数的一个对称中心为 $(\frac{\pi }{3},0)$。

第三步：计算周期 相邻的对称轴与对称中心之间的距离为 $\frac{T}{4}$。 由图象性质得：$\frac{T}{4}=|\frac{7\pi }{12}-\frac{\pi }{3}|=\frac{3\pi }{12}=\frac{\pi }{4}$。 解得 $T=\pi$。

第四步：验证单调性 当 $T=\pi$ 时，$\frac{T}{2}=\frac{\pi }{2}$。 区间 $[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}]$ 的长度为 $\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}<\frac{\pi }{2}$。 在此区间内，距离端点 $\frac{\pi }{2}$ 最近的对称轴为 $\frac{7\pi }{12}$，且 $\frac{\pi }{2}<\frac{7\pi }{12}$。 所以区间 $[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}]$ 位于对称轴的一侧，满足单调性要求。

故答案为 $\pi$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数的对称轴、对称中心与周期。

2. 核心方法：由等值点求对称轴，由相反值点求对称中心，用 $\frac{T}{4}$ 距离求周期。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 相邻对称轴与对称中心距离为 $\frac{T}{4}$。

2. 结论推广: $f(x_1)=f(x_2)$ 得对称轴，$f(x_1)+f(x_2)=0$ 得对称中心。

3. 方法推广: 由函数值关系反推周期与对称性的问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-15 填-函数对称性
• 2013-新课标I卷理-16 填-函数对称性
• 2013-江西卷理-21 解-对称性