2014-广东卷文-16 解-三角求值

本题导读

(1) 由 $f(\frac{5\pi }{12})$ 的值定 $A$；(2)$f(\theta )-f(-\theta )$ 化简得 $3\sin \theta$，再算 $f(\frac{\pi }{6}-\theta )=3\cos \theta$。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(文)） 已知函数 $f(x)=A\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$，$x\in \mathbf{R}$，且 $f\left(\frac{5\pi }{12}\right)=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

(1) 求 $A$ 的值；

(2) 若 $f(\theta )-f(-\theta )=\sqrt{3}$，$\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，求 $f\left(\frac{\pi }{6}-\theta \right)$.

🔍【思路分析】

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(2) 先化简 $f(\theta )-f(-\theta )$，再把目标 $f(\frac{\pi }{6}-\theta )$ 的相位凑成与 $\theta$ 相关的余弦。

✅【答案】

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(1) $A=3$；(2)$f\left(\frac{\pi }{6}-\theta \right)=\sqrt{6}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f\left(\frac{5\pi }{12}\right)=A\sin \left(\frac{5\pi }{12}+\frac{\pi }{3}\right)=A\sin \frac{3\pi }{4}=A\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，故 $A=3$。 (2) $f(\theta )-f(-\theta )=3\left[\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)-\sin \left(-\theta +\frac{\pi }{3}\right)\right]$。 由 $\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$，得原式 $=3\cdot 2\cos \frac{\pi }{3}\cdot \sin \theta =3\sin \theta =\sqrt{3}$，故 $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{3}$。 由 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，$\cos \theta =\sqrt{1-{\sin }^2\theta }=\frac{\sqrt{6}}{3}$。 $f\left(\frac{\pi }{6}-\theta \right)=3\sin \left(\frac{\pi }{6}-\theta +\frac{\pi }{3}\right)=3\sin \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)=3\cos \theta =\sqrt{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数求值（诱导公式、和差公式）

2. 核心方法：待定系数 + 整体代入

3. 避坑指南：$f(\frac{\pi }{6}-\theta )$ 的相位恰为 $\frac{\pi }{2}-\theta$，直接用诱导公式化为 $3\cos \theta$——发现这个结构就不用解出 $\theta$；$\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时 $\cos \theta$ 取正（$\theta$ 为锐角）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三角解答题首题常规配置：定参数 + 条件求值。

2. 结论推广: 推广：$A\sin (x+\phi )$ 型中 $f(\alpha )-f(-\alpha )=2A\cos \phi \sin \alpha$，是高频恒等式。

3. 方法推广: 三角求值流程：化简条件 → 定参数 → 目标式凑角（余角、倍角）→ 同角关系收尾。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-06 单-三角函数的图象
• 2014-北京卷理-14 填-正弦型函数的对称性