2014-四川卷理-01 单-交集及其运算

本题导读

本题考查一元二次不等式的解法以及集合交集的基本运算。重点在于正确求解二次不等式并提取其区间内的整数元素。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(理)） 已知集合 $A=\{x|x^2-x-2\le 0\}$，集合 $B$ 为整数集，则 $A\cap B=$ ()

A. $\{-1,0,1,2\}$　　　B. $\{-2,-1,0,1\}$　　　C. $\{0,1\}$　　　D. $\{-1,0\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解不等式：首先解出一元二次不等式 $x^2-x-2\le 0$，确定集合 $A$ 的范围。
2. 明确集合 $B$：集合 $B$ 是整数集 $\mathbb{Z}$。
3. 求交集：在集合 $A$ 的区间内寻找所有的整数，这些整数构成的集合即为 $A\cap B$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：解集合 $A$ 中的不等式 由 $x^2-x-2\le 0$，利用因式分解法得： $(x-2)(x+1)\le 0$ 解得： $-1\le x\le 2$ 即集合 $A=\{x|-1\le x\le 2\}$。

第二步：求 $A\cap B$ 因为 $B$ 为整数集，所以 $A\cap B$ 即为区间 $[-1,2]$ 内的所有整数。 这些整数包括：$-1,0,1,2$。 故 $A\cap B=\{-1,0,1,2\}$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：一元二次不等式的解法（“大于取两边，小于取中间”）以及交集的定义。

2. 核心方法：将连续区间通过整数限制转化为离散集合。

3. 避坑指南：注意不等式号是否包含等号（闭区间或开区间），本题中 $\le$ 包含端点 $-1$ 和 $2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 空集、并集、补集的性质。

2. 结论推广: 若集合 $B$ 改为自然数集 $\mathbb{N}$，则答案为 $\{0,1,2\}$。

3. 方法推广: 涉及集合运算的题目，通常先化简各集合的表达形式，再根据定义运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-湖南卷文-11 填-集合运算
• 2015-新课标II卷文-01 单-集合运算
• 2015-广东卷文-01 单-集合运算