2015-四川卷理-02 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的基础代数运算。核心考点在于虚数单位 $i$ 的幂次性质以及复数除法（分母实数化）的简易处理。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(理)） 设 $i$ 是虚数单位，则复数 $i^3-\frac{2}{i}=$ ()

A. $-i$　　　　　　　B. $-3i$　　　　　　　C. $i$　　　　　　　D. $3i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 处理 $i$ 的幂次：根据 $i$ 的周期性性质，$i^1=i,i^2=-1,i^3=-i$。
2. 处理复数分式：对于 $\frac{2}{i}$，可以通过分子分母同乘以 $i$（分母实数化）或利用 $\frac{1}{i}=-i$ 的结论来简化。
3. 合并同类项：将两部分结果相加减，得出最终简化的纯虚数结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简 $i^3$ 根据虚数单位的性质： $i^3=i^2\cdot i=(-1)\cdot i=-i$

第二步：化简 $\frac{2}{i}$ 采用分母实数化： $\frac{2}{i}=\frac{2\cdot i}{i\cdot i}=\frac{2i}{i^2}=\frac{2i}{-1}=-2i$

第三步：计算原式 将上述结果代入原式得： $i^3-\frac{2}{i}=(-i)-(-2i)=-i+2i=i$

答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：虚数单位 $i$ 的幂次运算（周期为 4）；复数的除法运算。
• 核心方法：定义法。熟记 $i^2=-1$ 和 $\frac{1}{i}=-i$ 这两个常用结论，可以极大地提高运算速度。
• 避坑指南：注意减法运算中的符号变化，特别是分母化简出的负号与原式减号的叠加。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 虚数单位 $i$ 的幂次满足 $i^n=i^{n(\mathrm{mod}4)}$。

• 相关知识点：复数的代数形式 $a+bi$、纯虚数的定义。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练(Links)

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