2019-全国卷I理-21 解-分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列。核心在于定义法（求解分布列）、递推化简法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(理)）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．

约定：若甲治愈且乙未治愈，甲得 1 分，乙得 -1 分；若乙治愈且甲未治愈，乙得 1 分，甲得 -1 分；若都治愈或都未治愈，均得 0 分．甲、乙治愈率分别为 $\alpha$ 和 $\beta$．一轮试验中甲药得分记为 $X$．

(1)求 $X$ 的分布列；

(2)若试验开始时甲、乙都赋予 4 分，$p_i(i=0,1,\cdots ,8)$ 表示“甲药累计得分为 $i$ 时，最终认为甲药更有效”的概率．已知 $p_0=0,p_8=1$，$p_i=a{p}_{i-1}+b{p}_i+c{p}_{i+1}$ ($i=1,2,\cdots ,7$)，其中 $a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1)$．假设 $\alpha =0.5,\beta =0.8$．

(i) 证明：$\{p_{i+1}-p_i\}(i=0,1,\cdots ,7)$ 为等比数列；

(ii) 求 $p_4$，并根据 $p_4$ 的值解释这种试验方案的合理性．

🔍【思路分析】

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1. 第一问：根据题意，$X$ 代表甲药在一轮中的得分，取值只能是 $-1,0,1$。利用独立重复试验概率公式，分别计算“甲未愈乙愈”、“同愈或同未愈”、“甲愈乙未愈”的概率即可。

2. 第二问 (i)：将 $\alpha ,\beta$ 代入求出 $a,b,c$ 的数值。利用已知的递推式 $p_i=a{p}_{i-1}+b{p}_i+c{p}_{i+1}$，通过移项和整理，构造出 $p_{i+1}-p_i$ 与 $p_i-p_{i-1}$ 的比例关系。

3. 第二问 (ii)：

   • 利用等比数列通项公式表示出每一项差值。

   • 利用累加法表示 $p_n$。由 $p_0=0,p_8=1$ 解出首项。

   • 计算 $p_4$，其物理意义是在两药水平有明显差异时，误判甲药更有效的概率。若此概率极低，说明方案科学。

✅【答案】

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(1)$P(X=-1)=(1-\alpha )\beta$，$P(X=0)=\alpha \beta +(1-\alpha )(1-\beta )$，$P(X=1)=\alpha (1-\beta )$。

(2)（i）证明见解析；（ii）$p_4=\frac{1}{257}$，该概率极小，方案合理。

✍【详细解析】

Abstract

(1)求 $X$ 的分布列

$X$ 的可能取值为 $-1,0,1$。

• $P(X=1)=P(\text{甲愈且乙未愈})=\alpha (1-\beta )$；

• $P(X=-1)=P(\text{甲未愈且乙愈})=(1-\alpha )\beta$；

• $P(X=0)=P(\text{都愈})+P(\text{都不愈})=\alpha \beta +(1-\alpha )(1-\beta )$。

$X$ 的分布列为：

| $X$ | -1 | 0 | 1 |

| :--- | :--- | :--- | :--- |

| $P$ | $(1-\alpha )\beta$ | $\alpha \beta +(1-\alpha )(1-\beta )$ | $\alpha (1-\beta )$ |

(2)(i) 证明等比数列

当 $\alpha =0.5,\beta =0.8$ 时：

$a=(1-0.5)\times 0.8=0.4$；

$b=0.5\times 0.8+0.5\times 0.2=0.5$；

$c=0.5\times (1-0.8)=0.1$。

代入递推式：$p_i=0.4p_{i-1}+0.5p_i+0.1p_{i+1}$

整理得：$0.5p_i=0.4p_{i-1}+0.1p_{i+1}$

两边同乘以 10：$5p_i=4p_{i-1}+p_{i+1}$

变形为：$p_{i+1}-p_i=4(p_i-p_{i-1})$

$\because a,c$ 为概率且不为 0，则 $\frac{p_{i+1}-p_i}{p_i-p_{i-1}}=4$（常数）。

故 $\{p_{i+1}-p_i\}$ 是以 $4$ 为公比的等比数列。

设 $p_1-p_0=d$。由 $p_0=0$ 知 $p_1=d$。

由等比数列性质：$p_{i+1}-p_i=d\cdot 4^i$。

利用累加法：$p_8-p_0={\sum }_{i=0}^7(p_{i+1}-p_i)=\frac{d(1-4^8)}{1-4}=\frac{4^8-1}{3}d$。

已知 $p_8-p_0=1-0=1$，则 $d=\frac{3}{4^8-1}$。

那么 $p_4=p_4-p_0={\sum }_{i=0}^3(p_{i+1}-p_i)=\frac{d(1-4^4)}{1-4}=\frac{4^4-1}{3}d$。

代入 $d$ 得：$p_4=\frac{4^4-1}{3}\times \frac{3}{4^8-1}=\frac{4^4-1}{(4^4-1)(4^4+1)}=\frac{1}{4^4+1}=\frac{1}{257}$。

合理性解释：

$p_4=\frac{1}{257}\approx 0.0039$。

$p_4$ 表示在乙药治愈率（0.8）明显高于甲药（0.5）的情况下，试验方案最终错误地认为甲药更有效的概率。

由于该概率极小（远小于常用显著性水平 0.05），说明该方案判定结论的可靠性极高，方案非常合理。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 概率递推思想：这种“点数增减”模型是概率论中的经典案例，通常转化为数列问题解决。

• 数学语言翻译：(ii) 问的“合理性解释”要求学生将数学结果转化回现实背景，体现了数学建模素养。

• 计算重难点：在处理 $4^8-1$ 这种大数字时，利用平方差公式 $(4^4-1)(4^4+1)$ 进行约分是提速的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2014-四川卷理-17 解-随机变量的分布列
• 2014-大纲卷理-20 解-相互独立事件的乘法公式