2014-新课标I卷文-20 解-圆的弦中点轨迹

本题导读

(1) $CM\perp PM$ 得 $M$ 的轨迹 $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=2$；(2) 由 $|OP|=|OM|$ 与圆的等距结构得 $PM\perp ON$，$l:x+3y-8=0$，$S=\frac{16}{5}$。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(文)） 已知点 $P(2,2)$，圆 $C:x^2+y^2-8y=0$，过点 $P$ 的动直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，线段 $AB$ 的中点为 $M$，$O$ 为坐标原点.

(1) 求 $M$ 的轨迹方程；

(2) 当 $|OP|=|OM|$ 时，求 $l$ 的方程及 $△POM$ 的面积.

🔍【思路分析】

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(1) $CM\perp PM$ 得 $M$ 的轨迹 $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=2$；(2) 由 $|OP|=|OM|$ 与圆的等距结构得 $PM\perp ON$，$l:x+3y-8=0$，$S=\frac{16}{5}$。

✅【答案】

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(1) $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=2$ (2) $l$ 的方程为 $x+3y-8=0$，$△POM$ 的面积为 $\frac{16}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 圆 $C$ 的圆心 $C(0,4)$，半径 4。$M$ 为弦 $AB$ 的中点，故 $CM\perp AB$；又 $P,M$ 都在 $l$ 上，$PM$ 与 $AB$ 共线，故 $\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{PM}=0$。

设 $M(x,y)$：$x(x-2)+(y-4)(y-2)=0$，即 $x^2+y^2-2x-6y+8=0$，化为 $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=2$。

由于 $P$ 在圆 $C$ 内部（$4+4-16=-8<0$），过 $P$ 的直线与圆 $C$ 总相交，$M$ 的轨迹为整个圆 $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=2$。

(2) $|OP|=2\sqrt{2}$。记圆 $N:(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=2$（圆心 $N(1,3)$，半径 $\sqrt{2}$），则 $P$ 也在圆 $N$ 上（$|PN|=\sqrt{2}$），$M$ 在圆 $N$ 上。

$|OP|=|OM|$ 且 $|NP|=|NM|$：$O$、$N$ 都在线段 $PM$ 的垂直平分线上，故 $PM\perp ON$。$k_{ON}=3$，所以 $k_l=k_{PM}=-\frac{1}{3}$。

$l$ 过 $P(2,2)$：$y-2=-\frac{1}{3}(x-2)$，即 $x+3y-8=0$。

$O$ 到 $l$ 的距离 $d=\frac{8}{\sqrt{10}}$；$N$ 到 $l$ 的距离 $=\frac{|1+9-8|}{\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{10}}$，故 $|PM|=2\sqrt{2-\frac{4}{10}}=\frac{8}{\sqrt{10}}$。

$S_{△POM}=\frac{1}{2}\cdot |PM|\cdot d=\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{\sqrt{10}}\cdot \frac{8}{\sqrt{10}}=\frac{16}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：与圆相关的轨迹问题；直线与圆的位置关系

2. 核心方法：“圆心—弦中点连线 ⊥ 弦”得垂直关系；圆的等距结构 + 垂直平分线定直线

3. 避坑指南：①轨迹要化成标准形，并说明”为何是整圆”（$P$ 在圆 $C$ 内部保证 $M$ 铺满圆 $N$）；②$|OP|=|OM|$ 的几何翻译是”O 在 PM 的垂直平分线上”，与 $N$ 一起用才能定出 $PM$ 方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 直线与圆的综合解答题（doc 考点定位：圆的方程、直线与圆），2015 年新课标Ⅰ文第 20 题同族。

2. 结论推广: 一般地，“弦中点轨迹”的通法是垂直（圆心—中点连线 ⊥ 弦）；当再给一个等距条件时，两个”到弦两端等距的点”的连线即为弦的方向。

3. 方法推广: 圆的解答题抓两条主线：几何条件代数化（点乘为零、距离公式），以及”定圆 + 定点”结构的几何翻译。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-20 解-直线与圆