2017-江苏卷-21B 解-矩阵

本题导读

本题考查矩阵乘法。核心在于坐标变换法、矩阵运算法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年江苏卷） 已知矩阵 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$，$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$.

(1)求 $\mathbf{AB}$；

(2)若曲线 $C_1:\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$ 在矩阵 $\mathbf{AB}$ 对应的变换作用下得到另一个曲线 $C_2$，求 $C_2$ 的方程.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（矩阵运算）：利用矩阵乘法的定义，“前行乘后列，和为新元素”。即 $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}ae+bg& af+bh\\ ce+dg& cf+dh\end{array}\right]$。
2. 第二问（曲线变换）：

• 建立映射关系：设 $C_1$ 上任意一点为 $(x,y)$，变换后的对应点为 $(x^{\prime },y^{\prime })$。
• 利用公式消元：根据 $\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\mathbf{AB}\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ 得到 $x,y$ 与 $x^{\prime },y^{\prime }$ 的关系。
• 方程回代：将 $x,y$ 的表达式代入 $C_1$ 的方程，化简后得到 $x^{\prime },y^{\prime }$ 的关系，即为 $C_2$ 的方程。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解： (1)计算矩阵 $\mathbf{AB}$

$\mathbf{AB}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0\times 1+1\times 0& 0\times 0+1\times 2\\ 1\times 1+0\times 0& 1\times 0+0\times 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 0\end{array}\right]$。

(2)求曲线 $C_2$ 的方程 设曲线 $C_1$ 上任意一点的坐标为 $(x,y)$，在矩阵 $\mathbf{AB}$ 作用下变换后的点坐标为 $(x^{\prime },y^{\prime })$。 则 $\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2y\\ x\end{array}\right]$。 由此可得 $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=2y\\ y^{\prime }=x\end{array}$，即 $\{\begin{array}{l}x=y^{\prime }\\ y=\frac{x^{\prime }}{2}\end{array}$。

将上述关系代入曲线 $C_1$ 的方程 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$： $\frac{(y^{\prime }{)}^2}{8}+\frac{(\frac{x^{\prime }}{2}{)}^2}{2}=1$ $\frac{(y^{\prime }{)}^2}{8}+\frac{(x^{\prime }{)}^2}{8}=1⟹(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2=8$。 故曲线 $C_2$ 的方程为 $x^2+y^2=8$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 矩阵乘法的不可交换性：矩阵运算中 $AB\ne BA$。本题中 $\mathbf{A}$ 为关于 $y=x$ 对称的反射矩阵，$\mathbf{B}$ 为纵向伸缩矩阵。若顺序颠倒，结果会完全不同。
• 逆向代换技巧：求变换后的方程时，本质是“反解旧坐标”，用新坐标表示旧坐标后再代入原方程。
• 几何直观：原曲线为椭圆，矩阵 $\mathbf{AB}$ 将其纵坐标放大 2 倍并与横坐标交换，最终将其“修正”为一个圆。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若矩阵 $\mathbf{M}$ 是正交矩阵，则它对应的变换是等距变换，不会改变图形的形状（如旋转、反射）。
• 方法推广:
  • 特征值法：在更复杂的矩阵变换中，可以通过寻找矩阵的特征值和特征向量来理解变换的主方向和伸缩比例。

• 相关知识点:

  • 矩阵的逆：若需要求反向变换，可以利用 $(\mathbf{AB}{)}^{-1}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷理-21 解-矩阵乘法与几何变换
• 2014-江苏卷-21B 解-矩阵与变换
• 2014-福建卷理-21A 解-矩阵与变换