2013-广东卷文-16 解-三角求值与变换

本题导读

本题考查两角和与差的三角公式。核心在于角统一化特殊角差、象限定符号的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(文)） 已知函数 $f(x)=\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{12}\right)$，$x\in \mathbf{R}$.

(1)求 $f\left(\frac{\pi }{3}\right)$ 的值；

(2)若 $\cos \theta =\frac{3}{5}$，$\theta \in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$，求 $f\left(\theta -\frac{\pi }{6}\right)$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）$f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{2}\cos \frac{\pi }{4}=1$。
2. （2）$\theta$ 在第四象限 → $\sin \theta =-\frac{4}{5}$。
3. $f\left(\theta -\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{2}\cos \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)=\cos \theta +\sin \theta =\frac{3}{5}-\frac{4}{5}=-\frac{1}{5}$。

✅【答案】

点击查看答案

(1)$1$；(2)$-\frac{1}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{2}\cos \left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{12}\right)=\sqrt{2}\cos \frac{\pi }{4}=\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=1.$ （2）由 $\cos \theta =\frac{3}{5}$，$\theta \in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$（第四象限），得 $\sin \theta =-\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=-\frac{4}{5}.$ 于是 $f\left(\theta -\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{2}\cos \left(\theta -\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{12}\right)=\sqrt{2}\cos \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right).$ 由两角差的余弦公式： $\sqrt{2}\left(\cos \theta \cos \frac{\pi }{4}+\sin \theta \sin \frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \theta +\sin \theta )=\cos \theta +\sin \theta .$ 代入得 $f\left(\theta -\frac{\pi }{6}\right)=\frac{3}{5}-\frac{4}{5}=-\frac{1}{5}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数求值（和差角公式）

核心方法：$f(\theta -\frac{\pi }{6})=\sqrt{2}\cos (\theta -\frac{\pi }{4})=\cos \theta +\sin \theta =\frac{3}{5}-\frac{4}{5}=-\frac{1}{5}$

避坑指南：先统一角再展开：$\theta -\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{12}=\theta -\frac{\pi }{4}$，两角差的余弦展开后 $\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}$ 恰好约成 $1$；$\theta \in (\frac{3\pi }{2},2\pi )$ 是第四象限，$\sin \theta =-\frac{4}{5}$ 取负号——符号弄反就得 $\frac{7}{5}$ 或正答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数的求值与两角和差公式（广东卷解答题首题）。

结论推广：角统一（凑特殊角差）；$\cos (\alpha -\beta )$ 展开与平方关系定 $\sin \theta$。

方法推广：化角 → 展开为 $\cos \theta +\sin \theta$ → 平方关系定 $\sin \theta$ → 代入。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-15 解-三角恒等变换求角
• 2013-安徽卷文-16 解-三角和角与变换
• 2013-新课标II卷文-06 单-三角恒等变换