2013-广东卷文-09 单-椭圆标准方程

本题导读

本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的离心率。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(文)） 已知中心在原点的椭圆 $C$ 的右焦点为 $F(1,0)$，离心率等于 $\frac{1}{2}$，则 $C$ 的方程是()

A. $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$　　B. $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{\sqrt{3}}=1$　　C. $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$　　D. $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

🔍【思路分析】

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1. 焦点在 $x$ 轴上，$c=1$；$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ → $a=2$。
2. $b^2=a^2-c^2=4-1=3$。
3. 方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。

✅【答案】

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（D）

✍【详细解析】

Abstract

由右焦点 $F(1,0)$ 知焦点在 $x$ 轴上，且 $c=1$。 由离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得 $a=2c=2$。 由 $a^2=b^2+c^2$ 得 $b^2=a^2-c^2=4-1=3.$ 故椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1.$ 选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的标准方程（由焦点与离心率）

核心方法：$c=1$，$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ → $a=2$，$b^2=a^2-c^2=3$ → $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

避坑指南：焦点在 $x$ 轴上 → 标准方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$x$ 项分母大）——焦点 $(1,0)$ 给的是 $c=1$ 而非 $a=1$；$b^2=a^2-c^2$ 别误写成 $a^2+c^2$（那是双曲线）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆的标准方程与离心率（基本量 $a,b,c$ 互求，广东卷选择题）。

结论推广：$e=\frac{c}{a}$；$a^2=b^2+c^2$；焦点位置定方程形式。

方法推广：由焦点坐标读 $c$ → 离心率求 $a$ → 勾股求 $b^2$ → 写方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2015-广东卷文-08 单-椭圆焦点
• 2014-江西卷文-14 填-椭圆离心率
• 2013-新课标II卷文-05 单-椭圆离心率