2014-江西卷理-11 单-绝对值三角不等式

本题导读

本题考查绝对值三角不等式求最值。把含 $x$ 与含 $y$ 的部分拆开后各自求最小值，两者相加即得整个表达式的最小值——因为两部分互不干扰，可以同时取到各自的最小值。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(理)） 对任意 $x,y\in \mathbf{R}$，$|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|$ 的最小值为()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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1. 结构拆分：把表达式拆成含 $x$ 的部分 $f(x)=|x-1|+|x|$ 与含 $y$ 的部分 $g(y)=|y-1|+|y+1|$。
2. 分别求最小：利用 $|a|+|b|\ge |a-b|$，得 $f(x)\ge 1$、$g(y)\ge 2$。
3. 验证同取：说明使两部分分别取得最小值的 $x$、$y$ 可以同时取到，再相加。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求含 $x$ 部分的最小值 $|x-1|+|x|=|1-x|+|x|\ge |(1-x)+x|=1$ 当且仅当 $0\le x\le 1$ 时取到等号，故 $f(x{)}_{\min }=1$。

第二步：求含 $y$ 部分的最小值 $|y-1|+|y+1|=|1-y|+|y+1|\ge |(1-y)+(y+1)|=2$ 当且仅当 $-1\le y\le 1$ 时取到等号，故 $g(y{)}_{\min }=2$。

第三步：合并 因为 $x,y$ 相互独立，取 $x=\frac{1}{2}$、$y=0$ 可使两部分同时取到最小值，所以原式的最小值为 $1+2=3$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值三角不等式 $|a|+|b|\ge |a\pm b|$ 求最值，绝对值之和的几何意义。

2. 核心方法：形如 $|x-a|+|x-b|$ 的式子，最小值就是 $|a-b|$；变量相互独立的若干部分可以分别求最小值后相加。

3. 避坑指南：各部分分别取到最小值时，必须检查对应的变量能否同时取到（本题 $x$、$y$ 独立，可以同时取到）；若各部分共享同一个变量，则不能简单相加。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于绝对值的几何意义与绝对值三角不等式，是选做模块中的基础题型。

2. 结论推广: $|x-a|+|x-b|$ 的最小值为 $|a-b|$，取得最小值时 $x$ 介于 $a$ 与 $b$ 之间；偶数个同类绝对值项、变量两两独立时，最小值等于各部分最小值之和。

3. 方法推广: 处理绝对值之和的最值，常用两条路径——代数上用 $|a|+|b|\ge |a\pm b|$ 配凑消元，几何上把式子读成数轴上的距离之和。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷文-15 填-绝对值不等式
• 2014-辽宁卷文-24 解-绝对值不等式
• 2015-新课标I卷文-24 解-绝对值不等式