2014-辽宁卷文-24 解-绝对值不等式

本题导读

(1) 按 $x⩾1$、$x<1$ 分段去掉绝对值解 $f(x)⩽1$；(2) 由 $g(x)=(4x-1{)}^2⩽4$ 求 $N$，确定 $M\cap N$ 后在区间上化简待证式的左边。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(文)） （选修 4-5：不等式选讲）设函数 $f(x)=2|x-1|+x-1$，$g(x)=16x^2-8x+1$，记 $f(x)⩽1$ 的解集为 $M$，$g(x)⩽4$ 的解集为 $N$.

(1) 求 $M$；

(2) 当 $x\in M\cap N$ 时，证明：$x^{2}f(x)+x[f(x){]}^2⩽\frac{1}{4}$.

🔍【思路分析】

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(1) 以 $x=1$ 为分界分段讨论；(2) $g(x)=(4x-1{)}^2$，由 $|4x-1|⩽2$ 求 $N$。

✅【答案】

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(1) $M=\left[0,\frac{4}{3}\right]$；(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $f(x)=2|x-1|+x-1$，所以分段讨论： 当 $x⩾1$ 时，$f(x)=2(x-1)+x-1=3x-3$，由 $3x-3⩽1$ 得 $x⩽\frac{4}{3}$，结合 $x⩾1$ 得 $1⩽x⩽\frac{4}{3}$； 当 $x<1$ 时，$f(x)=2(1-x)+x-1=1-x$，由 $1-x⩽1$ 得 $x⩾0$，结合 $x<1$ 得 $0⩽x<1$。 综上，$M=\left[0,\frac{4}{3}\right]$。 (2) 因为 $g(x)=16x^2-8x+1=(4x-1{)}^2$，所以 $g(x)⩽4⟺(4x-1{)}^2⩽4⟺|4x-1|⩽2⟺-2⩽4x-1⩽2⟺-\frac{1}{4}⩽x⩽\frac{3}{4}$， 即 $N=\left[-\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right]$，故 $M\cap N=\left[0,\frac{3}{4}\right]$。 在此区间内 $x⩽1$，所以 $f(x)=1-x$。从而 $x^{2}f(x)+x[f(x){]}^2=x^2(1-x)+x(1-x{)}^2=x(1-x)\left[x+(1-x)\right]=x(1-x)$。 又 $x(1-x)=\frac{1}{4}-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2⩽\frac{1}{4}$， 所以当 $x\in M\cap N$ 时，$x^{2}f(x)+x[f(x){]}^2⩽\frac{1}{4}$，不等式得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式与不等式的证明

2. 核心方法：分类讨论解绝对值不等式，配方证不等式

3. 避坑指南：(1) 按 $x⩾1$ 与 $x<1$ 分段去绝对值，得 $M=\left[0,\frac{4}{3}\right]$；(2) 先把 $g(x)=(4x-1{)}^2$ 化为 $|4x-1|⩽2$ 得 $N$，再在 $M\cap N$ 上把 $x^{2}f(x)+x[f(x){]}^2$ 化简为 $x(1-x)$ 后配方。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 绝对值不等式的解法与不等式的证明（选修 4-5）。

2. 结论推广: $|t|⩽a(a>0)⟺-a⩽t⩽a$；二次式配方 $x(1-x)=\frac{1}{4}-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2$。

3. 方法推广: 含绝对值的函数按零点分段讨论；证明不等式时先把待证式化简为可配方（或可放缩）的形式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-24 解-绝对值不等式
• 2014-广东卷理-09 填-绝对值不等式