2014-福建卷理-18 解-分布列

本题导读

本题以商场摸球兑奖为背景，考查超几何分布背景下的离散型随机变量分布列、期望与方差的计算，并考查利用数学指标（期望与方差）进行方案优选的决策能力。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(理)） 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励.规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.

(1) 若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求：

① 顾客所获的奖励额为 60 元的概率；

② 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；

(2) 商场对奖励总额的预算是 60000 元，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两类球组成，或标有面值 20 元和 40 元的两类球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：利用组合数计算样本空间和目标事件数。奖励额 $X$ 的取值取决于摸出的球。$X=60$ 即 50+10，$X=20$ 即 10+10。

2. 第二问：

   • 符合预算：总预算 60000 元分配给 1000 人，意味着单人期望奖励 $E(X)=\frac{60000}{1000}=60$ 元。

   • 相对均衡：在数学上体现为方差 $D(X)$。方差越小，奖金分布越集中，即越“均衡”。

   • 分类讨论两种球的组合方式，寻找能使 $E(X)=60$ 的方案，并比较其方差。

✅【答案】

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20；60；方案一：10 元和 50 元组合；方案二：20 元和 40 元组合

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解析：

① 从 4 个球中随机摸出 2 个球，共有 $C_4^2=6$ 种取法。

获得 60 元奖励额的事件为摸到 1 个 50 元球和 1 个 10 元球，共有 $C_1^1\cdot C_3^1=3$ 种取法。

所以，$P(X=60)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。

② 奖励额 $X$ 的所有可能取值为 20，60。

$P(X=60)=\frac{1}{2}$；$P(X=20)=\frac{C_3^2}{C_4^2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。

其分布列为：

X	20	60
$P$	0.5	0.5

数学期望 $E(X)=20\times 0.5+60\times 0.5=40$（元）。

(2) 解析：

由题意，每位顾客所得奖励额的均值应为 $E(X)=\frac{60000}{1000}=60$ 元。

方案一：10 元和 50 元组合

若袋中有 $n$ 个 50 元球，$(4-n)$ 个 10 元球。

• 若 $n=2$（2个10元，2个50元）：

  $X$ 可取 20（两个10），60（一10一50），100（两个50）。

  $P(X=20)=\frac{C_2^2}{6}=\frac{1}{6},P(X=60)=\frac{C_2^1\cdot C_2^1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},P(X=100)=\frac{1}{6}$。

  $E(X_1)=20\cdot \frac{1}{6}+60\cdot \frac{2}{3}+100\cdot \frac{1}{6}=60$（符合预算）。

  方差 $D(X_1)=(20-60{)}^2\cdot \frac{1}{6}+(60-60{)}^2\cdot \frac{2}{3}+(100-60{)}^2\cdot \frac{1}{6}=\frac{1600}{6}+0+\frac{1600}{6}=\frac{1600}{3}$。

方案二：20 元和 40 元组合

若袋中有 2 个 20 元球，2 个 40 元球。

• $X$ 可取 40（两个20），60（一20一40），80（两个40）。

  $P(X=40)=\frac{1}{6},P(X=60)=\frac{2}{3},P(X=80)=\frac{1}{6}$。

  $E(X_2)=40\cdot \frac{1}{6}+60\cdot \frac{2}{3}+80\cdot \frac{1}{6}=60$（符合预算）。

  方差 $D(X_2)=(40-60{)}^2\cdot \frac{1}{6}+(60-60{)}^2\cdot \frac{2}{3}+(80-60{)}^2\cdot \frac{1}{6}=\frac{400}{6}+0+\frac{400}{6}=\frac{400}{3}$。

结论：

由于 $E(X_1)=E(X_2)=60$，两方案均符合预算；但因为 $D(X_2)<D(X_1)$，方案二的奖励额波动更小，发放更均衡。

设计方案：袋中放置 2 个 20 元球和 2 个 40 元球。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：离散型随机变量的分布列、期望与方差及决策

2. 核心方法：用组合数求概率列分布列，比较期望与方差选最优方案

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 超几何分布与数学期望决策

2. 结论推广: 期望相同选方差较小者（分布更均衡）。

3. 方法推广: 可迁移到期望方差对比的决策优化类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

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• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
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