2014-辽宁卷文-02 单-复数运算

本题导读

把 $2\mathrm{i}$ 移到右边，再对 $\frac{5}{2-\mathrm{i}}$ 分母实数化。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(文)） 设复数 $z$ 满足 $(z-2\mathrm{i})(2-\mathrm{i})=5$，则 $z=$ ()

A. $2+3\mathrm{i}$　　　　　B. $2-3\mathrm{i}$　　　　　C. $3+2\mathrm{i}$　　　　　D. $3-2\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

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由 $z-2\mathrm{i}=\frac{5}{2-\mathrm{i}}$，分子分母同乘 $2+\mathrm{i}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $(z-2\mathrm{i})(2-\mathrm{i})=5$ 得 $z-2\mathrm{i}=\frac{5}{2-\mathrm{i}}$。 分子分母同乘分母的共轭复数 $2+\mathrm{i}$： $\frac{5}{2-\mathrm{i}}=\frac{5(2+\mathrm{i})}{(2-\mathrm{i})(2+\mathrm{i})}=\frac{5(2+\mathrm{i})}{2^2+1^2}=\frac{5(2+\mathrm{i})}{5}=2+\mathrm{i}$。 所以 $z=2+\mathrm{i}+2\mathrm{i}=2+3\mathrm{i}$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的除法运算

2. 核心方法：分母实数化（同乘共轭复数）

3. 避坑指南：先整体移项再化简：$z-2\mathrm{i}$ 应看作一个整体，把 $2-\mathrm{i}$ 除过来，不能把 $2\mathrm{i}$ 乘进括号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 复数的四则运算。

2. 结论推广: $\frac{1}{a+b\mathrm{i}}=\frac{a-b\mathrm{i}}{a^2+b^2}(a,b\in \mathbf{R})$。

3. 方法推广: 复数除法固定套路：分子分母同乘分母的共轭复数，把分母化为实数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-02 单-复数除法
• 2014-新课标I卷理-02 单-复数的乘除与幂运算