2014-辽宁卷理-02 单-复数除法

本题导读

本题考查复数的代数运算，重点在于掌握复数除法的运算法则以及复数的基本化简过程。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(理)） 设复数 $z$ 满足 $(z-2i)(2-i)=5$，则 $z=$ ()

A. $2+3i$　　　　B. $2-3i$　　　　C. $3+2i$　　　　D. $3-2i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分离变量：利用等式的基本性质，通过除法将含有 $z$ 的项 $(z-2i)$ 孤立。
2. 复数除法：计算 $\frac{5}{2-i}$，通过分子分母同乘共轭复数进行分母实数化。
3. 求解 $z$：移项并进行复数加法运算得出最终结果。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：整理等式 由 $(z-2i)(2-i)=5$，得： $z-2i=\frac{5}{2-i}$

第二步：进行复数除法（分母实数化）

$z-2i=\frac{5(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{5(2+i)}{4-i^2}$ 由于 $i^2=-1$，则： $z-2i=\frac{5(2+i)}{5}=2+i$

第三步：求出复数 $z$ $z=2+i+2i=2+3i$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的除法运算（分母实数化）。

2. 核心方法：分子分母同乘共轭复数 $(2+i)$ 进行分母实数化。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 复数除法的分母实数化方法。

2. 结论推广: $\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$。

3. 方法推广: 复数除法统一用“乘共轭、分母实数化”处理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-天津卷文-09 填-复数除法
• 2014-新课标II卷文-02 单-复数除法
• 2014-天津卷文-01 单-复数除法