2015-新课标I卷理-23 解-极坐标

本题导读

本题考查直角坐标方程向极坐标方程的转换，以及在极坐标系下处理直线与圆的相交问题。通过解关于 $\rho$ 的二次方程确定交点距离，并利用几何关系简化三角形面积的计算。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅰ(理)） （选修 4-4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $C_1：x=-2$，圆 $C_2：(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=1$.以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1) 求 $C_1,C_2$ 的极坐标方程；

(2) 若直线 $C_3$ 的极坐标方程为 $\theta =\frac{\pi }{4}$ ($\rho \in \mathbb{R}$)，设 $C_2$ 与 $C_3$ 的交点为 $M,N$，求 $△C_{2}MN$ 的面积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（方程互化）：利用公式 $x=\rho \cos \theta$ 和 $y=\rho \sin \theta$ 直接替换直角坐标方程中的变量，并进行适当化简。
2. 第二问（面积计算）：
   • 求交点径长：将直线 $C_3$ 的角度 $\theta =\frac{\pi }{4}$ 代入圆 $C_2$ 的极坐标方程中，解出关于 $\rho$ 的一元二次方程，求得 ${\rho }_1,{\rho }_2$。
   • 求弦长：弦长 $|MN|=|{\rho }_1-{\rho }_2|$。
   • 判定三角形形状：已知圆 $C_2$ 的半径为 $1$，通过比较弦长与半径的关系（或计算圆心到直线的距离），确定 $△C_{2}MN$ 的形状。若弦长 $|MN|=\sqrt{2}R$，则三角形为等腰直角三角形。
   • 算面积：利用 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 或底高公式计算。

✅【答案】

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$（1）C1:𝜌cos𝜃=-2，C2:𝜌2-2𝜌cos𝜃-4𝜌sin𝜃+4=0；（2）12.$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $C_1,C_2$ 的极坐标方程

1. 直线 $C_1$： 将 $x=\rho \cos \theta$ 代入 $x=-2$，得： $\rho \cos \theta =-2$。

2. 圆 $C_2$： 将 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 代入 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=1$： $(\rho \cos \theta -1{)}^2+(\rho \sin \theta -2{)}^2=1$ 展开得：${\rho }^2{\cos }^2\theta -2\rho \cos \theta +1+{\rho }^2{\sin }^2\theta -4\rho \sin \theta +4=1$ 利用 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ 化简： ${\rho }^2-2\rho \cos \theta -4\rho \sin \theta +4=0$ 即 ${\rho }^2-\rho (2\cos \theta +4\sin \theta )+4=0$。

(2) 求 $△C_{2}MN$ 的面积

1. 求解交点： 将 $\theta =\frac{\pi }{4}$ 代入 $C_2$ 的极坐标方程： ${\rho }^2-\rho (2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2})+4=0$ ${\rho }^2-3\sqrt{2}\rho +4=0$ 解此二次方程，得 ${\rho }_1=2\sqrt{2},{\rho }_2=\sqrt{2}$。
2. 计算弦长 $|MN|$： $|MN|=|{\rho }_1-{\rho }_2|=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
3. 判定三角形形状： 在 $△C_{2}MN$ 中，边 $C_{2}M=C_{2}N=R=1$（圆的半径）。 由于 $C_2{M}^2+C_2{N}^2=1^2+1^2=2$，且 $|MN{|}^2=(\sqrt{2}{)}^2=2$。 根据勾股定理逆定理，$△C_{2}MN$ 是以 $MN$ 为斜边的等腰直角三角形。 即 $C_{2}M\perp C_{2}N$。
4. 计算面积： $S_{△C_{2}MN}=\frac{1}{2}\cdot C_{2}M\cdot C_{2}N=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 坐标互化公式：$x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta ,x^2+y^2={\rho }^2$ 是极坐标系的核心桥梁。
2. 几何特征优先：在第二问中，虽然可以用底乘高求面积，但通过勾股定理发现“直角”能极大简化计算。
3. 避坑指南：在求 $\rho$ 时，若方程无解或 $\rho$ 为负数，需注意直线与圆的位置关系及极坐标的定义域（通常 $\rho ⩾0$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若直线过极点，且圆的极坐标方程中常数项为 $a^2$（如本题中的 $4$），则从极点引出的两条割线段长度之积 ${\rho }_1{\rho }_2$ 恒为该常数（切割线定理在极坐标下的体现）。
• 方法推广:
  • 参数方程法：也可以将直线写成参数方程 $x=t\cos \frac{\pi }{4},y=t\sin \frac{\pi }{4}$ 代入圆的直角坐标方程求解。
• 相关知识点:

  • - **三角形面积公式**：$S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$。
    

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 11.04 三角形面积公式

类题演练(Links)

• 2023-甲卷文-22 解-极坐标与参数方程
• 2023-甲卷理-22 解-极坐标与参数方程
• 2022甲卷文-22