2015-新课标I卷文-23 解-极坐标方程

本题导读

坐标系与参数方程。（1）背熟互化公式直接平移；（2）把 $\theta =\frac{\pi }{4}$ 代入圆的极坐标方程，两根之差即 $|MN|$，再以圆心到直线距离为高求面积。

📌【题干】

Question

（2015年新课标I卷(文)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $C_1:x=-2$，圆 $C_2:(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=1$，以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1) 求 $C_1$，$C_2$ 的极坐标方程；

(2) 若直线 $C_3$ 的极坐标方程为 $\theta =\frac{\pi }{4}$（$\rho \in \mathbf{R}$），设 $C_2$ 与 $C_3$ 的交点为 $M,N$，求 $△C_{2}MN$ 的面积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）$x=\rho \cos \theta$、$x^2+y^2={\rho }^2$，直接代入。
2. （2）$\theta =\frac{\pi }{4}$ 代入 $C_2$ 极坐标方程得关于 $\rho$ 的二次方程，$|MN|=|{\rho }_1-{\rho }_2|$。
3. 面积 $=\frac{1}{2}\cdot |MN|\cdot d$（圆心到直线距离）。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $C_1:\rho \cos \theta =-2$；$C_2:{\rho }^2-2\rho \cos \theta -4\rho \sin \theta +4=0$

(2) $\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 由 $x=\rho \cos \theta$，直线 $C_1:x=-2$ 的极坐标方程为

$\rho \cos \theta =-2.$

将 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=1$ 展开：$x^2+y^2-2x-4y+4=0$，以 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，$x^2+y^2={\rho }^2$ 代入，得圆 $C_2$ 的极坐标方程

${\rho }^2-2\rho \cos \theta -4\rho \sin \theta +4=0.$

（2） 将 $\theta =\frac{\pi }{4}$（$\cos \theta =\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入 $C_2$ 的极坐标方程：

${\rho }^2-(\sqrt{2}+2\sqrt{2})\rho +4=0,\text{即}{\rho }^2-3\sqrt{2}\rho +4=0.$

解得 $\rho =\frac{3\sqrt{2}\pm \sqrt{18-16}}{2}$，即 ${\rho }_1=2\sqrt{2}$，${\rho }_2=\sqrt{2}$.

由图可知 $M,N$ 在极点同侧，故 $|MN|={\rho }_1-{\rho }_2=\sqrt{2}$.

圆心 $C_2(1,2)$ 到直线 $y=x$ 的距离 $d=\frac{|1-2|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. 所以

$S_{△C_{2}MN}=\frac{1}{2}\cdot |MN|\cdot d=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}.$

（校验：$|MN|⩽2r=2$，$\sqrt{2}<2$ ✓）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直角坐标方程与极坐标方程的互化；极坐标下直线与圆相交的弦长；点到直线的距离。

2. 核心方法：“互化公式三个”（$x=\rho \cos \theta$、$y=\rho \sin \theta$、$x^2+y^2={\rho }^2$）是全题钥匙；过极点的直线用”极径两根差”直接读出弦长。

3. 避坑指南：① 直线 $x=-2$ 的极坐标方程是 $\rho \cos \theta =-2$（含负值），写成 $\rho \cos \theta =2$ 就错；② $M,N$ 在极点同侧时 $|MN|=|{\rho }_1-{\rho }_2|$，异侧时是 ${\rho }_1+{\rho }_2$，要先判断。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：坐标系与参数方程（选修 4-4）是选考三题中”最套路”的一题：互化 + 弦长/距离，十年全国卷几乎无一例外。

2. 结论推广: 若 $C_3$ 改为 $\theta =\frac{\pi }{2}$（即 $y$ 轴），代入得 ${\rho }^2-4\rho +4=0$，$\rho =2$ 重根——直线与圆相切，$△C_{2}MN$ 退化，面积整体为零，可作为”相切判定”的快速题。

3. 方法推广: 极坐标大题三步曲：互化（写对方程）→ 代入（直线 $\theta ={\theta }_0$ 化为 $\rho$ 的一元二次方程）→ 回收（韦达/两根差 + 距离公式）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷理-23 解-极坐标