2023-甲卷文-22 解-极坐标与参数方程

本题导读

本题考查直线的参数方程及其参数的几何意义。核心在于参数几何意义法、坐标转化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷文）在直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $P(2,1)$，直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=2+t\cos \alpha \\ y=1+t\sin \alpha \end{array}$（$t$ 为参数），其中 $\alpha$ 为 $l$ 的倾斜角．直线 $l$ 与 $x$ 轴正半轴、$y$ 轴正半轴分别交于 $A,B$ 两点，且 $|PA|\cdot |PB|=4$．

（1）求 $\alpha$；

（2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 $l$ 的极坐标方程．

🔍【思路分析】

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1. 第（1）问：已知直线参数方程为标准形式，参数 $t$ 的绝对值表示直线上动点到定点 $P(2,1)$ 的距离。分别令 $y=0$ 和 $x=0$，求出交点 $A,B$ 对应的参数值 $t_1,t_2$，利用 $|PA|\cdot |PB|=|t_1{t}_2|=4$ 建立三角方程。结合交点在正半轴的几何限制锁定 $\alpha$ 的象限，求出倾斜角。
2. 第（2）问：将求得的 $\alpha$ 代入，写出直线的直角坐标点斜式方程并化简为一般式。利用互化公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 替代自变量，整理得出极坐标方程。

✅【答案】

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(1) $\alpha =\frac{3\pi }{4}$

(2) $\rho (\cos \theta +\sin \theta )=3$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求直线 $l$ 的倾斜角 $\alpha$

直线 $l$ 的参数方程为标准形式，过定点 $P(2,1)$，参数 $t$ 的几何意义是直线上动点到定点 $P$ 的有向距离。

设点 $A,B$ 对应的参数分别为 $t_1,t_2$。 由于点 $A$ 在 $x$ 轴上，令 $y=0$，代入参数方程得： $1+t_1\sin \alpha =0⟹t_1=-\frac{1}{\sin \alpha }$ 故 $|PA|=|t_1|=\left|\frac{1}{\sin \alpha }\right|$。

由于点 $B$ 在 $y$ 轴上，令 $x=0$，代入参数方程得： $2+t_2\cos \alpha =0⟹t_2=-\frac{2}{\cos \alpha }$ 故 $|PB|=|t_2|=\left|\frac{2}{\cos \alpha }\right|$。

由已知 $|PA|\cdot |PB|=4$，代入各项的代数式： $\left|\frac{1}{\sin \alpha }\right|\cdot \left|\frac{2}{\cos \alpha }\right|=4⟹\left|\frac{2}{\sin \alpha \cos \alpha }\right|=4$

利用二倍角正弦公式 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ 变形得： $\left|\frac{4}{\sin 2\alpha }\right|=4⟹|\sin 2\alpha |=1$

因为直线 $l$ 与 $x$ 轴正半轴、$y$ 轴正半轴均有交点，且过第一象限点 $P(2,1)$，由图形的几何分布可知其斜率必然为负，故倾斜角 $\alpha$ 的取值范围为 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$。 由此可得 $2\alpha \in (\pi ,2\pi )$。

结合 $|\sin 2\alpha |=1$，在该区间内满足条件的解为： $\sin 2\alpha =-1⟹2\alpha =\frac{3\pi }{2}⟹\alpha =\frac{3\pi }{4}$

所以，直线 $l$ 的倾斜角 $\alpha =\frac{3\pi }{4}$。

（2）求直线 $l$ 的极坐标方程

由（1）知 $\alpha =\frac{3\pi }{4}$，则直线 $l$ 的斜率 $k=\tan \frac{3\pi }{4}=-1$。 因为直线过点 $P(2,1)$，由点斜式方程得： $y-1=-1\times (x-2)⟹x+y-3=0$

引入直角坐标与极坐标的互化公式： $\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \end{array}$

代入一般式方程 $x+y-3=0$ 中： $\rho \cos \theta +\rho \sin \theta -3=0$

整理得直线 $l$ 的极坐标方程为： $\rho (\cos \theta +\sin \theta )=3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：标准直线参数方程中 $|t|$ 的几何意义、二倍角公式化简、直角坐标向极坐标的一步转换。
2. 核心方法：参数几何意义法、坐标代换法。
3. 避坑指南：

• 方程标准性校验：只有当 $t$ 的系数平方和为 1（即 ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$）时，参数 $t$ 才可以等价于空间距离。若给出的是非标准方程（如系数为 $2t,3t$），必须先实施标准化变换。
• 多解漏排陷阱：由 $|\sin 2\alpha |=1$ 解三角方程会产生两个象限的解。必须严格扣紧“交于 $x,y$ 轴正半轴”这一空间方位条件，判定斜率必为负，从而淘汰第一象限的锐角解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于选考模块“坐标系与参数方程”的经典常考解答题，重点考查直线参数方程的代数结构与极坐标分式的互化，难度适中。
2. 结论推广：对于过定点 $P(x_0,y_0)$ 且倾斜角为 $\alpha$ 的标准直线参数方程，其与两坐标轴交点到定点 $P$ 的距离之积，可抽象表达为通用函数：$|PA|\cdot |PB|=\left|\frac{x_0{y}_0}{\sin \alpha \cos \alpha }\right|=\left|\frac{2x_0{y}_0}{\sin 2\alpha }\right|$。在选择或填空题中，可直接利用此二级结论进行快速逆向求角。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷理-15 填-直线参数方程
• 2013-新课标II卷理-23 解-圆参数方程
• 2014-新课标I卷理-23 解-圆与椭圆的参数方程