2014-湖北卷理-01 单-复数除法

本题导读

本题考查复数的基本代数运算。通过复数的除法（分母实数化）和乘方运算，考查对虚数单位 $i$ 性质的掌握。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(理)） $i$ 为虚数单位，则 $(\frac{1-i}{1+i}{)}^2=$ ()

A. $-1$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $-i$　　　　　　　D. $i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先化简括号内复数：利用复数除法法则，分子分母同乘以分母的共轭复数 $1-i$，将括号内的分式化简为最简形式。
2. 再进行乘方运算：将化简后的结果进行平方运算。
3. 快捷途径：直接利用常用结论 $\frac{1-i}{1+i}=-i$ 进行快速求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

方法一：常规计算

1. 化简括号内部： $\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-2i+i^2}{1^2-i^2}$ 由于 $i^2=-1$，则： $\frac{1-i}{1+i}=\frac{1-2i-1}{1+1}=\frac{-2i}{2}=-i$
2. 计算平方： $(-i{)}^2=i^2=-1$

方法二：整体平方 $(\frac{1-i}{1+i}{)}^2=\frac{(1-i{)}^2}{(1+i{)}^2}=\frac{1-2i+i^2}{1+2i+i^2}=\frac{-2i}{2i}=-1$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的除法运算与乘方运算

2. 核心方法：分母实数化化简 $\frac{1-i}{1+i}=-i$，再平方

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 复数的四则运算与 $i^2=-1$

2. 结论推广: $\frac{1-i}{1+i}=-i$，$(-i{)}^2=-1$。

3. 方法推广: 可迁移到复数除法、乘方与常用结论化简类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-天津卷文-09 填-复数除法
• 2014-新课标II卷文-02 单-复数除法
• 2014-天津卷文-01 单-复数除法