2015-湖北卷理-01 单-复数运算

本题导读

本题考查虚数单位 $i$ 的幂运算周期性以及共轭复数的定义。通过计算高次幂并取共轭，检验对基础复数概念的掌握。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(理)） $i$ 为虚数单位，$i^{607}$ 的共轭复数为 ()

A. $i$　　　　　　　B. $-i$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算 $i$ 的高次幂：利用虚数单位 $i$ 的幂运算具有周期性（周期为 4）的特点，将 $607$ 除以 $4$ 得到余数，从而化简 $i^{607}$。
2. 求共轭复数：根据共轭复数的定义（实部不变，虚部变号），求出化简后复数的共轭复数。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简 $i^{607}$ 因为 $i^1=i$，$i^2=-1$，$i^3=-i$，$i^4=1$，所以 $i^n$ 的值以 4 为周期循环。 计算 $607÷4=151\dots 3$， 所以 $i^{607}=i^{4\times 151+3}=(i^4{)}^{151}\cdot i^3=1^{151}\cdot (-i)=-i$。

第二步：求其共轭复数 复数 $z=-i$ 的实部为 0，虚部为 -1。 根据共轭复数的定义，$\bar{z}$ 的实部不变，虚部变为原来的相反数。 所以 $-i$ 的共轭复数为 $i$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：虚数单位的幂运算周期性：$i^{4n+1}=i,i^{4n+2}=-1,i^{4n+3}=-i,i^{4n}=1(n\in \mathbb{Z})$。
• 易错点：求出 $i^{607}=-i$ 后，容易直接选 B，忽略了题目要求的是“共轭复数”。审题必须仔细。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 对于任何 $i^n$，只需看 $n$ 除以 4 的余数。若余数为 0，结果为 1；余数为 1，结果为 $i$；余数为 2，结果为 -1；余数为 3，结果为 $-i$。
• 方法推广: 在处理复数综合题时，涉及共轭的运算性质常有：$\overline{z_1\pm z_2}={\bar{z}}_1\pm {\bar{z}}_2$，$\overline{z_1\cdot z_2}={\bar{z}}_1\cdot {\bar{z}}_2$。
• 相关知识点: 复数的模、复平面的几何意义。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练(Links)

• 2013年湖北卷理-1
• 2014-湖北卷理-01 单-复数除法
• 2012-湖北卷理-01