2015-重庆卷理-09 单-三角恒等变换

本题导读

本题考查三角函数的综合变换能力。通过将已知条件中的正切关系代入待求的分式中，利用两角和与差的余弦和正弦公式展开，并结合辅助角或三角恒等式进行约分化简。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(理)） 若 $\tan \alpha =2\tan \frac{\pi }{5}$，则 $\frac{\cos (\alpha -\frac{3\pi }{10})}{\sin (\alpha -\frac{\pi }{5})}=$ ()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开目标式：利用两角和与差的正弦、余弦公式展开分子 $\cos (\alpha -\frac{3\pi }{10})$ 和分母 $\sin (\alpha -\frac{\pi }{5})$。
2. 弦切互化：为了利用已知条件 $\tan \alpha =2\tan \frac{\pi }{5}$，需要将分子分母同时除以 $\cos \alpha \cos \frac{\pi }{5}$ 或类似的项，使式子中出现 $\tan \alpha$。
3. 代入化简：将 $2\tan \frac{\pi }{5}$ 替换掉式中的 $\tan \alpha$，随后利用三角函数的诱导公式（如 $\cos \frac{3\pi }{10}=\sin \frac{\pi }{5}$）进行消项处理。
4. 寻找恒等关系：观察分子分母剩余项的比例关系，得出最终常数值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：展开分子与分母 分子：$\cos (\alpha -\frac{3\pi }{10})=\cos \alpha \cos \frac{3\pi }{10}+\sin \alpha \sin \frac{3\pi }{10}$ 分母：$\sin (\alpha -\frac{\pi }{5})=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{5}-\cos \alpha \sin \frac{\pi }{5}$

第二步：利用诱导公式转换角度 注意 $\frac{3\pi }{10}+\frac{\pi }{5}=\frac{3\pi +2\pi }{10}=\frac{\pi }{2}$。 因此：$\cos \frac{3\pi }{10}=\sin \frac{\pi }{5}$，$\sin \frac{3\pi }{10}=\cos \frac{\pi }{5}$。 分子变为：$\cos \alpha \sin \frac{\pi }{5}+\sin \alpha \cos \frac{\pi }{5}$。

第三步：分子分母同除以 $\cos \alpha \cos \frac{\pi }{5}$ 原式 $=\frac{\cos \alpha \sin \frac{\pi }{5}+\sin \alpha \cos \frac{\pi }{5}}{\sin \alpha \cos \frac{\pi }{5}-\cos \alpha \sin \frac{\pi }{5}}$ 分子分母同时除以 $\cos \alpha \cos \frac{\pi }{5}$ 得： 原式 $=\frac{\tan \frac{\pi }{5}+\tan \alpha }{\tan \alpha -\tan \frac{\pi }{5}}$

第四步：代入已知条件 $\tan \alpha =2\tan \frac{\pi }{5}$ 原式 $=\frac{\tan \frac{\pi }{5}+2\tan \frac{\pi }{5}}{2\tan \frac{\pi }{5}-\tan \frac{\pi }{5}}$ 原式 $=\frac{3\tan \frac{\pi }{5}}{\tan \frac{\pi }{5}}=3$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 角度敏感性：发现 $\frac{3\pi }{10}$ 与 $\frac{\pi }{5}$ 互余是本题突破的关键，这决定了能否顺利使用诱导公式简化分子。
2. 切化弦 vs 弦化切：当已知条件是正切关系，而待求式是正余弦分式时，通常采用“分子分母同除以余弦乘积”的方法构造正切。
3. 运算方向：本题若直接代入 $\tan \alpha$ 的展开式会非常复杂，先统一角度再转换函数种类是更优路径。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 也可以令 $\frac{\pi }{5}=\theta$，则待求式为 $\frac{\sin (\alpha +\theta )}{\sin (\alpha -\theta )}$。根据和差化积的逆运算或直接展开，结合 $\tan \alpha =2\tan \theta$，利用合分比性质：$\frac{\sin \alpha \cos \theta +\cos \alpha \sin \theta }{\sin \alpha \cos \theta -\cos \alpha \sin \theta }=\frac{\tan \alpha +\tan \theta }{\tan \alpha -\tan \theta }=\frac{2\tan \theta +\tan \theta }{2\tan \theta -\tan \theta }=3$。
• 变式思考: 若条件改为 $\tan \alpha \cdot \tan \frac{\pi }{5}=2$，求值结果会如何变化？

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练(Links)

• 2013年重庆卷理-9
• 2014-重庆卷理-10 单-和差公式与二倍角公式
• 2014-重庆卷理-17 解-三角函数的周期性