2016-上海卷文-09 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理与二项式系数之和、二项展开式的通项公式与常数项，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(文)） 在 ${\left(\sqrt[3]{x}-\frac{2}{x}\right)}^n$ 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 $256$，则常数项等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用二项式系数之和公式 $2^n=256$ 求出展开式的次数 $n$。
2. 写出二项展开式的通项公式 $T_{r+1}$。
3. 令通项中 $x$ 的指数为 0，求出对应的 $r$ 值，从而计算出常数项。

✅【答案】

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$112$

✍【详细解析】

Abstract

1. 求指数 $n$： 二项式系数之和为 $2^n=256$，因为 $2^8=256$，所以 $n=8$。
2. 写出通项公式： 原二项式为 ${\left(x^{\frac{1}{3}}-2x^{-1}\right)}^8$， 其展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_8^r{\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^{8-r}{\left(-2x^{-1}\right)}^r={\mathrm{C}}_8^r(-2{)}^r{x}^{\frac{8-r}{3}-r}(r=0,1,2,\dots ,8)$。
3. 求常数项： 令 $x$ 的指数为 0，即： $\frac{8-r}{3}-r=0⟹8-r-3r=0⟹4r=8⟹r=2$。 将 $r=2$ 代入通项公式中计算常数项： $T_3={\mathrm{C}}_8^2(-2{)}^2=\frac{8\times 7}{2\times 1}\times 4=28\times 4=112$。 故答案为 $112$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式系数之和、通项公式、常数项。
2. 核心方法：赋值法（令 $x=1$ 求系数和）与指数方程求解法。
3. 避坑指南：注意“二项式系数之和”与“各项系数之和”的区别，前者为 $2^n$，后者可通过令 $x=1$ 求得；同时通项中注意负号的处理。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考二项式定理常规题。
2. 结论推广：形如 $(a{x}^m+b{x}^p{)}^n$ 的展开式中常数项总是通过令通项中变量的指数和为 0 来确定。

🔗【关联脉络】

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• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III理-04 单-二项式定理
• 2017-全国卷I理-06 单-二项式定理
• 2017-浙江卷-13 填-二项式定理

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