2016-上海卷理-01 填-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法、集合的表示方法，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(理)） 设 $x\in \mathbb{R}$，则不等式 $|x-3|<1$ 的解集为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 公式转化：利用绝对值不等式的基本性质：$|x|<a⟺-a<x<a$（其中 $a>0$）。
2. 去绝对值：将 $|x-3|<1$ 转化为 $-1<x-3<1$。
3. 移项求解：不等式三边同时加上 3，求出 $x$ 的范围。
4. 规范书写：题目明确要求“解集”，必须以区间或集合的形式给出答案。

✅【答案】

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$(2,4)$

✍【详细解析】

Abstract

解： 由已知 $|x-3|<1$， 根据绝对值不等式的性质，得： $-1<x-3<1$ 不等式各边同时加上 3，得： $2<x<4$ 所以不等式的解集为 $(2,4)$。

故答案为：$(2,4)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 基本性质：
  • $|f(x)|<a⟺-a<f(x)<a$
  • $|f(x)|>a⟺f(x)>a$ 或 $f(x)<-a$
• 易错点：上海卷对表达规范有一定要求，填空题若只写 $2<x<4$ 而不带括号或集合符号，在严格阅卷下可能扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 几何意义法： $|x-3|<1$ 在数轴上的几何意义是：到点 3 的距离小于 1 的所有点构成的集合。 以 3 为中心，向左、向右各平移 1 个单位长度，即可直接得到范围为 $(3-1,3+1)$，即 $(2,4)$。

• 推广结论： 对于形如 $|x-a|<b$ ($b>0$) 的不等式，其解集永远是以 $a$ 为中点、长度为 $2b$ 的开区间 $(a-b,a+b)$。

• 变式思考： 若题目改为 $|x-3|<|x+1|$，则可以利用“到两点距离的大小关系”来解：即到 3 的距离小于到 -1 的距离，通过中点 $x=1$ 判定解集为 $(1,+\infty )$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-01 填-集合
• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-全国卷III文-01 单-集合

专题合集 (Series)